Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( \frac{2x}{x+1} \), chúng ta có thể sử dụng các phương pháp giải tích hoặc bất đẳng thức.

1. Đặt \( y = \frac{2x}{x+1} \).
2. Biến đổi biểu thức:
\[
y(x+1) = 2x \Rightarrow yx + y = 2x \Rightarrow yx - 2x + y = 0.
\]
Sắp xếp lại:
\[
(y - 2)x + y = 0.
\]
Điều này dẫn đến \( x = \frac{-y}{y - 2} \).

3. Tiếp theo, chúng ta sẽ xác định điều kiện tồn tại của \( x \). Để \( x \) là một số dương (nếu \( y < 2 \)), chúng ta cần \( y - 2 < 0 \), tức là \( y < 2 \).

4. Để tìm giá trị nhỏ nhất, chúng ta có thể khảo sát hàm \( y \) bằng cách tính đạo hàm:
\[
y = \frac{2x}{x + 1}.
\]
Tính đạo hàm của \( y \):
\[
y' = \frac{(x+1)(2) - 2x(1)}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}.
\]

Đạo hàm \( y' \) luôn dương với mọi \( x > -1 \), do đó biểu thức \( \frac{2x}{x+1} \) là một hàm tăng trên khoảng hợp lệ \( x > -1 \).

5. Để tìm giá trị nhỏ nhất, chúng ta xem xét giới hạn khi \( x \) tiến tới giá trị nhỏ nhất khả thi là \( -1 \):
\[
\lim_{x \to -1} y = \lim_{x \to -1} \frac{2x}{x + 1} = \frac{2(-1)}{(-1) + 1} = \text{không xác định}.
\]

6. Tuy nhiên, trong trường hợp \( x = 0 \), ta nhận được:
\[
y(0) = \frac{2(0)}{0 + 1} = 0.
\]

7. Từ đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( \frac{2x}{x + 1} \) là 0, đạt được tại \( x = 0 \).

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của \( \frac{2x}{x+1} \) là \( 0 \) và đạt được tại \( x = 0 \).