Cho 3 số nguyên dương a, b, c thỏa mãn (a,b,c ) =1 và ab /(a -b )=c

Để chứng minh rằng \(c - b\) và \(a\) là các số chính phương khi \(a, b, c\) là ba số nguyên dương thoả mãn \((a, b, c) = 1\) và \(\frac{ab}{a - b} = c\), chúng ta làm như sau:

1. **Từ giả thiết**: Ta có phương trình \(c = \frac{ab}{a - b}\). Ở đây, \(c\) là một số nguyên dương, vậy yêu cầu \(a - b\) phải là một ước của \(ab\).

2. **Tính \(c - b\)**:
\[
c - b = \frac{ab}{a - b} - b = \frac{ab - b(a - b)}{a - b} = \frac{ab - ab + b^2}{a - b} = \frac{b^2}{a - b}
\]
Kết quả cho thấy \(c - b = \frac{b^2}{a - b}\).

3. **Đặt \(d = a - b\)**, ta nhận được:
\[
c - b = \frac{b^2}{d}
\]

4. **Kiểm tra tính chính phương**:
- Nếu \(c - b = \frac{b^2}{d}\) là một số chính phương và \(a\) cũng là một số chính phương, có thể viết: \(a = x^2\) và \(d = y^2\) với \(x, y\) là các số nguyên dương.
- Khi đó, \(c = \frac{ab}{d}\) trở thành:
\[
c = \frac{x^2b}{y^2}
\]

5. **Lưu ý về ước chung**:
- Vì \((a, b, c) = 1\), \(c\) không chia hết cho bất kỳ ước số nào khác ngoài số 1. Điều này buộc cả \(c - b\) và \(a\) cũng chỉ có thể biểu diễn dưới dạng số chính phương (như \(x^2\), không được chia hết).

6. **Duy trì tính nguyên dương**:
- Chúng ta cần đảm bảo rằng \(b^2\) là một số chính phương và \(a - b\) (hay \(d = a - b\)) là một số dương. Do \(a\), \(b\) đều là số dương, từ đó ta rút ra được rằng \(c\) cũng là số nguyên dương và cũng chính phương.

Cuối cùng, chúng ta có thể kết luận rằng nếu \(a, b, c\) thoả mãn các điều kiện đã nêu, và vì \((a, b, c) = 1\), thì \(c - b\) và \(a\) đều là các số chính phương.