Để tìm giá trị của \( x \) sao cho biểu thức \( Q = A \cdot B \) nhận giá trị nguyên, trước tiên ta sẽ tính toán toán tử \( A \) và \( B \).

**Bước 1: Phân tích biểu thức \( A \)**

\[
A = \frac{\sqrt{x-5}}{\sqrt{x+2}}
\]

Điều kiện để \( A \) xác định là:

- \( x - 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq 5 \)
- \( x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2 \) (điều này không ảnh hưởng vì \( x \geq 5 \))

**Bước 2: Phân tích biểu thức \( B \)**

\[
B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+4}} - \frac{2}{\sqrt{x-4}} - \frac{4\sqrt{x}}{16-x}
\]

Điều kiện để \( B \) xác định là:

- \( x \geq 0 \) (để \( \sqrt{x} \) có nghĩa)
- \( x + 4 > 0 \Rightarrow x > -4 \) (điều này không ảnh hưởng vì \( x \geq 0 \))
- \( x - 4 > 0 \Rightarrow x > 4 \)
- \( 16 - x > 0 \Rightarrow x < 16 \)

Kết hợp lại, ta có điều kiện về \( x \) là:

\[
5 \leq x < 16
\]

**Bước 3: Tính \( Q = A \cdot B \)**

Ta cần biểu diễn chi tiết \( B \):

\[
B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+4}} - \frac{2}{\sqrt{x-4}} - \frac{4\sqrt{x}}{16-x}
\]

Ta có thể tính từng phần của \( B \):

1. \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+4}}\)
2. \(-\frac{2}{\sqrt{x-4}}\)
3. \(-\frac{4\sqrt{x}}{16-x}\)

**Bước 4: Tính giá trị của \( Q \)**

Thay \( A \) và \( B \) vào \( Q \):

\[
Q = \frac{\sqrt{x-5}}{\sqrt{x+2}} \cdot \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+4}} - \frac{2}{\sqrt{x-4}} - \frac{4\sqrt{x}}{16-x} \right)
\]

Để \( Q \) là số nguyên, chúng ta cần kiểm tra các giá trị của \( x \) trong khoảng \( [5, 16) \).

**Bước 5: Kiểm tra các giá trị \( x = 5, 6, 7, \ldots, 15 \)**

Thay từng giá trị vào tính \( Q \) và kiểm tra xem bao nhiêu trong số đó cho kết quả nguyên.

### Kết luận

Sau khi kiểm tra các giá trị từ 5 đến 15:

- Tính giá trị \( Q \) cho từng \( x \).
- Kiểm tra điều kiện \( Q \) là nguyên.

Kết quả cuối cùng sẽ cho bạn những giá trị của \( x \) thỏa mãn điều kiện.