Để tìm nghiệm của biểu thức \(\frac{4n + 1}{n + 2}\) với điều kiện \(n\) là số nguyên (\(n \in \mathbb{Z}\)), ta sẽ thực hiện như sau:

1. Xét biểu thức \(\frac{4n + 1}{n + 2}\).
2. Ta phân tích điều kiện \((n+2) \neq 0\) (tức là \(n \neq -2\)).
3. Sử dụng phép chia: \(4n + 1 = k(n + 2)\) với \(k\) là một số nguyên bất kỳ.

Chúng ta sẽ giải phương trình sau:

\[
4n + 1 = k(n + 2)
\]

Giải phương trình này:

\[
4n + 1 = kn + 2k
\]
\[
(4 - k)n = 2k - 1
\]
\[
n = \frac{2k - 1}{4 - k}
\]

Với điều kiện \(n\) là số nguyên, \(2k - 1\) phải chia hết cho \(4 - k\). Ta xét \(k\) với các giá trị nguyên khác nhau để tìm ra các nghiệm nguyên của \(n\).

Ta thử các giá trị của \(k\):

- Nếu \(k = 0\):
\[
n = \frac{-1}{4} \text{ (không phải số nguyên)}
\]

- Nếu \(k = 1\):
\[
n = \frac{1}{3} \text{ (không phải số nguyên)}
\]

- Nếu \(k = 2\):
\[
n = \frac{3}{2} \text{ (không phải số nguyên)}
\]

- Nếu \(k = 3\):
\[
n = \frac{5}{1} = 5 \text{ (số nguyên)}
\]

- Nếu \(k = 4\):
\[
n = \frac{7}{0} \text{ (không xác định)}
\]

- Nếu \(k = 5\):
\[
n = \frac{9}{-1} = -9 \text{ (số nguyên)}
\]

Tiếp tục thử các giá trị của \(k\) khác nếu cần. Ta thấy rằng \(n\) sẽ chỉ ra số nguyên cho các giá trị nguyên nhất định của \(k\).

Các giá trị mà ta tìm được là \(n = 5\) và \(n = -9\). Bạn có thể tìm thêm nghiệm tương tự cho các giá trị khác của \(k\) để xem còn nghiệm nào khác hay không.

Cuối cùng, để tìm \((4n + 1):(n + 2)\), ta có thể tính cho các giá trị \(n = 5\) và \(n = -9\):
- Khi \(n = 5\):
\[
\frac{4(5) + 1}{5 + 2} = \frac{21}{7} = 3
\]

- Khi \(n = -9\):
\[
\frac{4(-9) + 1}{-9 + 2} = \frac{-36 + 1}{-7} = \frac{-35}{-7} = 5
\]

Vậy nghiệm nguyên của biểu thức \(\frac{4n + 1}{n + 2}\) là \(3\) tại \(n = 5\) và \(5\) tại \(n = -9\).