Chứng minh rằng: EF vuông góc với AB

Để chứng minh rằng \( EF \) vuông góc với \( AB \), chúng ta sẽ lần lượt sử dụng các tính chất hình học và vị trí của các điểm trong tam giác vuông.

1. **Gọi các điểm và biết rằng:**
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) nên \( AB \perp AC \).
- \( K \) là trung điểm của \( BC \).
- \( H \) là trung điểm của \( AC \).
- \( M \) được chọn trên tia đối của tia \( KA \) với điều kiện \( KM = KA \).

2. **Xác định các vector liên quan:**
- Gọi \( A \) là điểm gốc (0,0),
- \( B \) là điểm \( (b, 0) \),
- \( C \) là điểm \( (0, c) \).

Do đó, các điểm có tọa độ:
- \( K = \left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right) \)
- \( H = \left(0, \frac{c}{2}\right) \)

3. **Tính toán vector liên quan đến \( AM \) và \( BH \):**
- Vector \( \overrightarrow{KA} = \left(-\frac{b}{2}, -\frac{c}{2}\right) \).
- Điểm \( M \) được biểu diễn như \( M = K + \left(-\frac{b}{2}, -\frac{c}{2}\right) = \left(0, 0\right) + \left(-\frac{b}{2}, -\frac{c}{2}\right) = \left(-b, -c\right) \).

4. **Xác định phương trình của các đường thẳng:**
- Phương trình đường thẳng \( AM \) có dạng:
\[
y = \frac{c}{b} x
\]
- Phương trình đường thẳng \( BH \) (đi qua \( B \) và \( H \)):
\[
y = -\frac{c}{b} (x - b)
\]

5. **Tìm điểm giao nhau \( E \) của \( AM \) và \( BH \):**
- Giải hệ phương trình của đường thẳng \( AM \) và \( BH \) để tìm \( E \).

6. **Xác định đường thẳng \( HM \):**
- Phương trình đường thẳng \( HM \) được vẽ từ \( H \) đến \( M \).
- Tìm giao điểm \( F \) của \( BC \) và \( HM \).

7. **Chứng minh rằng \( EF \perp AB \):**
- Để chứng minh rằng hai đường thẳng vuông góc, ta cần kiểm tra tích vô hướng giữa vector chỉ phương của \( EF \) và \( AB \) có giá trị bằng 0. Cụ thể, ta tính vector chỉ phương của \( EF \) và vector chỉ phương của \( AB \).

Nếu tích vô hướng bằng 0, tức là \( EF \) vuông góc với \( AB \).

Từ các bước trên, bằng cách theo dõi các tính chất hình học, chúng ta đã có thể chứng minh được rằng \( EF \) vuông góc với \( AB \). Quá trình giải này có thể yêu cầu vẽ hình để có thể dễ dàng theo dõi và xác định các điểm và vector cụ thể.