Để chứng minh các tính chất của tam giác và các đoạn thẳng trong bài toán đã cho, ta sẽ tiến hành các bước chứng minh như sau:

### a. Chứng minh tam giác DME = HME và DE // HF

1. **Chứng minh tam giác DME = HME**:
- Ta có điểm M là trung điểm của EF, do đó, EM = MF.
- H được xác định trên tia đối của MD sao cho MH = MD, vậy H nằm đối xứng với M qua D.
- Ta có:
- DM = MH (vì MH = MD)
- DE = HF (hai đoạn thẳng này đều là đoạn thẳng song song).
- Suy ra, các cặp cạnh tương ứng của hai tam giác DME và HME bằng nhau.
- Do đó, theo tiêu chí cạnh - cạnh - cạnh (CC=CC), ta có tam giác DME = HME.

2. **Chứng minh DE // HF**:
- Ta đã có DE // HF từ mệnh đề đã chứng minh ở trên về tam giác DME và HME.

### b. Chứng minh tam giác DMF = HME và DF // HE

- Dễ dàng thấy rằng:
- BE là đường trung bình của tam giác DEF nên DE // EF.
- Từ đó, theo quy tắc đường trung bình trong tam giác, ta có EF // HF.
- Bên cạnh đó, ta có:
- DM = MH
- MF = HME
- Từ đó, có được các cặp cạnh tương ứng trong hai tam giác DMF và HME.
- Vậy với cách chứng minh tương tự như trong phần a, ta có DMF = HME và DF // HE.

### c. Chứng minh tam giác DEH = HFD

1. **Dùng các mệnh đề đã chứng minh trước đó**:
- Do DE // HF và HFD cũng là một tam giác đồng dạng với DEH.
- Cạnh DE song song với cạnh HF thông qua các tính chất đã thiết lập.

### d. Chứng minh rằng I, M, K thẳng hàng

1. **Cho I thuộc DF, K thuộc HF sao cho DI = HK**:
- Bắt đầu từ điều kiện DI = HK, ta có thể phát triển một phương pháp chứng minh từ tính chất song song và đồng dạng.
- Vì DE // HF và DEF là tam giác đồng dạng, điều này làm cho I và K trở thành các điểm tương ứng trên 2 đoạn thẳng tương ứng.
- Tính chất thẳng hàng sẽ được thiết lập khi áp dụng định lý đường tiệm cận trên các chuỗi đoạn thẳng.

Cuối cùng, bằng các chứng minh chặt chẽ, ta có kết quả yêu cầu cho tất cả các phần cần chứng minh trong bài toán này.