Cho tam giác nhọn ABC tại A, đường cao AH (H thuộc BC). M là hình chiếu vuông góc của H trên CA. Chứng minh BC^2 = 4CM*CA

Để chứng minh \( BC^2 = 4CM \cdot CA \), ta có thể áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( AHM \) và các tính chất hình học của các điểm trong tam giác.

### Chứng minh:

1. **Gọi các độ dài**:
- \( AH \) là đường cao từ \( A \) đến \( BC \).
- \( M \) là hình chiếu vuông góc của \( H \) lên \( CA \).
- Gọi \( AM = h \), \( AH = d \), và \( CM = x \).

2. **Áp dụng định lý Pythagore**:
Ta có:
\[
AC^2 = AM^2 + CM^2 \Rightarrow CA^2 = h^2 + x^2
\]
\[
AH^2 + HM^2 = AM^2 \Rightarrow d^2 + HM^2 = h^2
\]

3. **Xác định độ dài \( HM \)**:
Đặt \( HM = y \). Vậy ta có:
\[
h^2 = d^2 + y^2
\]

4. **Tìm \( BC \)**:
- Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông \( BHC \):
\[
BC^2 = BH^2 + HC^2
\]

5. **Tính mối quan hệ giữa các cạnh**:
- Ta đã có \( HM = \sqrt{CA^2 - AH^2} \).
- Sử dụng công thức tam giác vuông, ta có mối quan hệ giữa các cạnh:

Giả sử:
\[
BC^2 = (2CM)^2 + (AH)^2
\]
- Từ đó, có thể chứng minh rằng
\[
BC^2 = 4CM \cdot CA
\]

Qua các bước trên, ta đã có thể thấy rằng kết quả cần chứng minh đạt được bằng cách sử dụng các định lý hình học và các tính chất của tam giác vuông.