Để chứng tỏ rằng biểu thức

\[
f(x) = (x^2 + a)(1 + a) + a^2x^2 + \frac{1}{(x^2 - a)(1 - a)} + a^2x^2 + 1
\]

không phụ thuộc vào biến \(x\), chúng ta sẽ tìm cách biến đổi biểu thức này và kiểm tra nó không chứa biến \(x\).

Bắt đầu với biểu thức:

\[
f(x) = (x^2 + a)(1 + a) + 2a^2x^2 + \frac{1}{(x^2 - a)(1 - a)} + 1
\]

Ta có thể phân tích từng phần của biểu thức:

1. Phần đầu tiên:
\[
(x^2 + a)(1 + a) = x^2(1 + a) + a(1 + a)
\]

2. Phần thứ hai:
\[
2a^2x^2
\]

3. Phần thứ ba:
\[
\frac{1}{(x^2 - a)(1 - a)}
\]

4. Phần thứ tư:
\[
1
\]

Kết hợp lại, ta có:

\[
f(x) = x^2(1 + a + 2a^2) + a(1 + a) + \frac{1}{(x^2 - a)(1 - a)} + 1
\]

Tuy nhiên, biểu thức trong phần thứ ba có dạng phân số còn phụ thuộc vào \(x\). Ta sẽ xem xét điều kiện của phép chia trong phần này.

Chúng ta cần đảm bảo rằng biểu thức f(x) có thể viết lại mà không có biến x.

Biểu thức chính sẽ cho phép chúng ta kiểm tra trường hợp này bằng cách xem các thành phần có thể biến đổi như thế nào:

- Nếu \(x^2 = a\), thì phần phân số \(\frac{1}{(x^2 - a)(1 - a)}\) trở thành một trường hợp không xác định. Do đó, chúng ta phải chắc chắn rằng các phần khác bù đắp cho điều đó.

Kết luận: Để biểu thức \(f(x)\) không phụ thuộc vào \(x\), các hệ số liên quan đến \(x^2\) trong phần đầu tiên và thứ nhì phải bằng nhau. Nếu:

\[
(1 + a + 2a^2) = 0
\]

thì nó sẽ không còn phụ thuộc vào \(x^2\).

Nếu bạn thực hiện các bước tính toán cẩn thận và tìm các giá trị \(a\) để cho các biểu thức tương đương và bù trừ đến một hằng số, ta có thể tìm ra hoặc khẳng định rằng biểu thức này thực sự không phụ thuộc vào biến \(x\).

Tuy nhiên, giả định đơn giản hơn cũng có thể thử với các giá trị số liệu để minh họa đầy đủ hơn trong phép chứng minh này.