Để giải bài toán này, trước tiên ta cần hiểu các mối quan hệ trong tam giác vuông và đường cao. Ta sẽ lần lượt giải từng bài.

### Bài 1

#### a) Cho AH = 16, BH = 25. Tính AB, AC, BC, CH.

Trong tam giác vuông ABC, với A là đỉnh góc vuông, chúng ta có mối quan hệ giữa các cạnh và đường cao như sau:

1. Tính AB và AC:
- Dưới đây là công thức cho độ dài cạnh trong tam giác vuông:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]
- Đồng thời, theo định lý Pytago:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]

Dễ dàng thấy rằng:
\[
BH = \frac{AC^2}{BC} \quad \text{và} \quad CH = \frac{AB^2}{BC}
\]

Từ các công thức trên, ta có thể tính:
- Với AH = 16 và BH = 25:
\[
CH = BH - AH = 25 - 16 = 9
\]

Sử dụng công thức:
\[
AH^2 = AB \cdot AC
\]
\[
16^2 = AB \cdot AC \Rightarrow 256 = AB \cdot AC
\]

Đặt AB = x và AC = y, ta có:
\[
y = \frac{256}{x}
\]

Thay vào công thức Pytago:
\[
BC^2 = x^2 + y^2 = x^2 + \left(\frac{256}{x}\right)^2
\]

Để tính BC, ta cần x và y. Sử dụng mối quan hệ:
\[
BC = BH + AH
\]
\[
BC = 25 + 16 = 41
\]

Sử dụng vào công thức Pytago:
\[
41^2 = x^2 + \left(\frac{256}{x}\right)^2
\]
\[
1681 = x^2 + \frac{65536}{x^2}
\]
Giải phương trình để tìm x:
\[
x^4 - 1681x^2 + 65536 = 0
\]
Đặt \( z = x^2 \):
\[
z^2 - 1681z + 65536 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm:
\[
z = \frac{1681 \pm \sqrt{1681^2 - 4 \cdot 65536}}{2}
\]
Tính toán các giá trị và tìm ra x và sau đó y.

#### b) Cho AB = 12, BH = 6. Tính AH, AC, BC, CH.

1. Tính AH:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]

2. Ta có:
- \( CH = BH - AH \)
- Tính BC (từ trước đãcó AB và BH, ta có mối quan hệ).

---

### Bài 2

Cho biết \( \frac{AB}{AC} = \frac{5}{6} \) và AH = 30cm.

1. Đặt \( AB = 5k \), \( AC = 6k \).
2. Tính AH:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]
\[
30 = \frac{5k \cdot 6k}{BC} \Rightarrow 30BC = 30k^2 \Rightarrow BC = k^2
\]

3. Sử dụng định lý Pytago tìm HB và HC:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
k^4 = (5k)^2 + (6k)^2
\]
Từ đó tính HB và HC.

---

Để hoàn thành các tính toán, bạn có thể sử dụng máy tính để tiện lợi cho việc tìm nghiệm. Cần thiết vẽ hình để giúp hình dung các cạnh và góc trong tam giác.