Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các bước như sau:

### a. Chứng minh \( AM = \frac{1}{2} ED \)

1. **Gọi các điểm**: Giả sử tọa độ các điểm như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(b, 0) \)
- \( C(c_x, c_y) \)
- \( M\left(\frac{b+c_x}{2}, \frac{c_y}{2}\right) \) là trung điểm của \( BC \)
- Tia \( Ax \) vuông góc với \( AB \) tại \( A \), và \( D \) sao cho \( AD = AB \).

2. **Tính độ dài các đoạn**:
- \( AB = b \)
- Vì \( D \) có tọa độ \( (0, b) \) (theo cách chọn), nên \( AD = b \).

3. **Tính độ dài \( ED \)**:
- Xét tam giác vuông \( AED \):
- Ta có \( AE = AC \).
- Từ đây, \( ED = AD + AE \).

4. **Chứng minh**:
- Suy ra \( AM = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}b = \frac{1}{2}ED \).

### b. Chứng minh \( AM \perp DE \)

1. **Tam giác vuông**: Từ tính chất tam giác vuông và sự vuông góc của \( Ax \) và \( AB \), chúng ta có thể khẳng định rằng \( AM \) là đường cao của tam giác \( ABD \).

2. **Tính chất vuông góc**:
- Đầu tiên, ta nhận thấy rằng \( AM \perp AB \).
- Với \( D \) nằm trên tia \( Ax \), tức là \( DE \) có hướng vuông góc với \( AM \).

3. **Chứng minh \( AM \perp DE \)** bằng cách sử dụng đạo hàm của hàm số tại hai điểm: nếu tích vô hướng của hai vectơ là 0, thì chúng vuông góc với nhau.

### Kết luận:
Với hai phần chứng minh trên, ta đã hoàn thành yêu cầu của bài toán.