Để giải bài toán này, chúng ta giả sử hai số cần tìm là \( x \) và \( y \), với \( x > y \). Theo đề bài, ta có:

1. **Tổng**: \( x + y \)
2. **Hiệu**: \( x - y \)
3. **Thương**: \( \frac{x}{y} \)

Theo đề bài, chúng ta có phương trình:
\[
(x + y) + (x - y) + \frac{x}{y} = 38
\]

Rút gọn phương trình trên, ta được:
\[
2x + \frac{x}{y} = 38
\]

Tiếp theo, để giải phương trình này, ta đặt \( \frac{x}{y} = k \), tức là \( x = ky \). Thay vào phương trình trên ta có:
\[
2(ky) + k = 38
\]
\[
2ky + k = 38
\]
\[
k(2y + 1) = 38
\]

Từ đây, ta sẽ thử các giá trị nguyên cho \( k \) để tìm ra \( y \) và từ đó tính được \( x \).

### Thử các giá trị của \( k \):
- **Nếu \( k = 1 \)**:
\[
1(2y + 1) = 38 \implies 2y + 1 = 38 \implies 2y = 37 \implies y = 18.5 \quad \text{(không phải số nguyên)}
\]

- **Nếu \( k = 2 \)**:
\[
2(2y + 1) = 38 \implies 2y + 1 = 19 \implies 2y = 18 \implies y = 9
\]
Vậy \( x = ky = 2 \times 9 = 18 \).

- **Nếu \( k = 3 \)**:
\[
3(2y + 1) = 38 \implies 2y + 1 = \frac{38}{3} \quad \text{(không phải số nguyên)}
\]

- **Nếu \( k = 4 \)**:
\[
4(2y + 1) = 38 \implies 2y + 1 = 9.5 \quad \text{(không phải số nguyên)}
\]

- **Nếu \( k = 5 \)**:
\[
5(2y + 1) = 38 \implies 2y + 1 = 7.6 \quad \text{(không phải số nguyên)}
\]

Ta đã tìm được một cặp số nguyên:
- \( x = 18 \)
- \( y = 9 \)

### Kiểm tra lại:
- Tổng: \( 18 + 9 = 27 \)
- Hiệu: \( 18 - 9 = 9 \)
- Thương: \( \frac{18}{9} = 2 \)

Tổng kết quả: \( 27 + 9 + 2 = 38 \), đúng với yêu cầu.

Vậy hai số nguyên cần tìm là **18 và 9**.