Chứng minh rằng |x - 2| + |x - 5| ≥ 3

Để chứng minh bất đẳng thức \(|x - 2| + |x - 5| \geq 3\), ta xem xét các trường hợp dựa trên vị trí của \(x\) so với các giá trị 2 và 5.

### Trường hợp 1: \(x < 2\)
Khi đó:
\[
|x - 2| = 2 - x \quad \text{và} \quad |x - 5| = 5 - x
\]
Thay vào bất đẳng thức:
\[
|x - 2| + |x - 5| = (2 - x) + (5 - x) = 7 - 2x
\]
Vì \(x < 2\) nên \(2x < 4\) và do đó:
\[
7 - 2x > 7 - 4 = 3
\]
Nên \(|x - 2| + |x - 5| \geq 3\) đúng.

### Trường hợp 2: \(2 \leq x < 5\)
Khi đó:
\[
|x - 2| = x - 2 \quad \text{và} \quad |x - 5| = 5 - x
\]
Thay vào bất đẳng thức:
\[
|x - 2| + |x - 5| = (x - 2) + (5 - x) = 3
\]
Vì vậy, \(|x - 2| + |x - 5| = 3\).

### Trường hợp 3: \(x \geq 5\)
Khi đó:
\[
|x - 2| = x - 2 \quad \text{và} \quad |x - 5| = x - 5
\]
Thay vào bất đẳng thức:
\[
|x - 2| + |x - 5| = (x - 2) + (x - 5) = 2x - 7
\]
Vì \(x \geq 5\) nên \(2x - 7 \geq 10 - 7 = 3\), do đó:
\[
|x - 2| + |x - 5| \geq 3
\]

### Kết luận
Từ ba trường hợp trên, ta có thể kết luận rằng \(|x - 2| + |x - 5| \geq 3\) với mọi giá trị của \(x\).