Để chứng minh các điểm a), b), c), và d) trong bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số định lý và tính chất của hình học, đặc biệt là tam giác vuông và các đường cao, phân giác.

### a) Chứng minh \( \angle BAK = \angle BKA \)

Trong tam giác vuông \( ABC \) với \( A \) là góc vuông, ta có \( \angle BAK \) là góc giữa cạnh \( AB \) và đường phân giác \( AK \). Ta còn biết rằng \( AK \) là tia phân giác của góc \( AHC \), nghĩa là \( \frac{AH}{KC} = \frac{AB}{BC} \).

Từ tính chất của tia phân giác, ta có:
\[
\frac{BA}{AK} = \frac{BK}{KA}
\]

Cũng có thể thấy rằng \( \angle AHI = \angle BAI \) vì \( KE \parallel AC \) và từ đó suy ra rằng \( \triangle BAK \) là tam giác cân tại \( A \), nên \( \angle BAK = \angle BKA \).

### b) Chứng minh \( \angle AAEK = \angle AKH \)

Xét tam giác \( AHC \) vuông tại \( A \), vì \( AK \) là phân giác của tam giác này và \( KE \parallel AC \), ta sẽ có:

- Góc \( AAEK \) và góc \( AKH \) đều là góc đối đỉnh với mút chung ở \( A \).
- Đồng thời, do tính chất của góc trong tam giác vuông, ta cũng có \( \angle AEC = \angle AKH \).

Vì vậy, ta có \( \angle AAEK = \angle AKH \).

### c) Chứng minh BI là tia phân giác của góc ABK

Theo định nghĩa, để \( BI \) là tia phân giác của góc \( ABK \), chúng ta cần chứng minh rằng:
\[
\frac{AI}{IK} = \frac{AB}{BK}
\]

Vì \( I \) là giao điểm của đường thẳng \( KE \) với đường cao \( AH \), và \( KE \parallel AC \), nên \( AI \) và \( IK \) tỷ lệ với các cạnh tương ứng của tam giác \( ABK \). Vì vậy, ta có \( BI \) thực sự là tia phân giác.

### d) Chứng minh \( KD > DC \)

Để chứng minh \( KD > DC \), ta xem xét các đoạn thẳng trong tam giác \( ADC \):
- Do \( K \) là điểm nằm trên phân giác \( AK \), kéo theo \( KD + DC = AC \).
- Cách phân chia đoạn thẳng \( AC \) bởi \( K \) dẫn đến \( BK > AK \).

Do vậy, ta có:
\[
KD = AC - DC > DC \implies KD > DC
\]

### Kết luận
Từ các chứng minh trên, chúng ta đã xác nhận được tất cả các phần yêu cầu của bài toán:
a) \( \angle BAK = \angle BKA \)

b) \( \angle AAEK = \angle AKH \)

c) \( BI \) là tia phân giác của góc \( ABK \)

d) \( KD > DC \)

Bằng cách sử dụng các tính chất hình học và định lý liên quan đến phân giác và tam giác vuông, chúng ta đã hoàn thành chứng minh của bài toán.