Để giải phương trình \( |x^2 + 3| |x - \frac{1}{2}| = x^2 + 3 \), ta sẽ phân tích các trường hợp dựa vào giá trị của biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối.

### Bước 1: Phân tích các dấu tuyệt đối

1. **Trường hợp 1: \( x^2 + 3 \geq 0 \)**
- Trong trường hợp này, \( |x^2 + 3| = x^2 + 3 \)
- Phương trình trở thành:
\[
(x^2 + 3) |x - \frac{1}{2}| = x^2 + 3
\]
- Nếu \( x^2 + 3 \neq 0 \) (điều này xảy ra với mọi \( x \) vì \( x^2 + 3 \) luôn dương), ta chia hai vế cho \( x^2 + 3 \):
\[
|x - \frac{1}{2}| = 1
\]

- Từ đó, ta có hai trường hợp:
1. \( x - \frac{1}{2} = 1 \) dẫn đến \( x = \frac{3}{2} \)
2. \( x - \frac{1}{2} = -1 \) dẫn đến \( x = -\frac{1}{2} \)

2. **Trường hợp 2: \( x^2 + 3 < 0 \)**
- Tuy nhiên, không có giá trị nào của \( x \) làm cho \( x^2 + 3 < 0 \) vì \( x^2 \) luôn không âm và \( x^2 + 3 \) luôn dương.

### Bước 2: Kiểm tra các nghiệm

- Kiểm tra \( x = \frac{3}{2} \):
\[
|(\frac{3}{2})^2 + 3| |(\frac{3}{2}) - \frac{1}{2}| = |(\frac{9}{4} + \frac{12}{4})| |1| = | \frac{21}{4}| = \frac{21}{4}
\]
\[
(\frac{3}{2})^2 + 3 = \frac{9}{4} + \frac{12}{4} = \frac{21}{4}
\]
- Điều này đúng.

- Kiểm tra \( x = -\frac{1}{2} \):
\[
|- \frac{1}{2}^2 + 3| |- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}| = |-\frac{1}{4} + 3| | -1| = | \frac{11}{4}| = \frac{11}{4}
\]
\[
(-\frac{1}{2})^2 + 3 = \frac{1}{4} + 3 = \frac{1}{4} + \frac{12}{4} = \frac{13}{4}
\]
- Không đúng.

### Kết luận

Nghiệm duy nhất của phương trình là:
\[
\boxed{\frac{3}{2}}
\]