Để tính các giá trị B, C, và D, ta sẽ phân tích từng biểu thức một.

**B**:

B được định nghĩa là:
\[
B = 2 + 2^3 + 2^5 + 2^7 + \ldots + 2^{2009}
\]

Đây là một chuỗi số mũ với số mũ là các số lẻ từ 1 đến 2009. Ta nhận thấy rằng các số mũ có thể được viết dưới dạng: \(2^{2k+1}\) với \(k = 0, 1, 2, \ldots, 1004\) (vì \(2 \cdot 1004 + 1 = 2009\)).

Vậy, ta có:
\[
B = \sum_{k=0}^{1004} 2^{2k+1} = 2 \sum_{k=0}^{1004} (2^2)^k = 2 \sum_{k=0}^{1004} 4^k
\]

Sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân:
\[
\sum_{k=0}^{n} r^k = \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}
\]
ta có:
\[
\sum_{k=0}^{1004} 4^k = \frac{1 - 4^{1005}}{1 - 4} = \frac{1 - 4^{1005}}{-3} = \frac{4^{1005} - 1}{3}
\]

Do đó,
\[
B = 2 \cdot \frac{4^{1005} - 1}{3} = \frac{2(4^{1005} - 1)}{3}
\]

**C**:

C được định nghĩa là:
\[
C = 5 + 5^3 + 5^5 + 5^7 + \ldots + 5^{101}
\]

Ta cũng có thể viết chuỗi này dưới dạng: \(5^{2k+1}\) với \(k = 0, 1, 2, \ldots, 50\) (vì \(2 \cdot 50 + 1 = 101\)).

Ta có:
\[
C = \sum_{k=0}^{50} 5^{2k+1} = 5 \sum_{k=0}^{50} (5^2)^k = 5 \sum_{k=0}^{50} 25^k
\]

Áp dụng công thức tổng của cấp số nhân:
\[
\sum_{k=0}^{50} 25^k = \frac{1 - 25^{51}}{1 - 25} = \frac{1 - 25^{51}}{-24} = \frac{25^{51} - 1}{24}
\]

Do đó:
\[
C = 5 \cdot \frac{25^{51} - 1}{24} = \frac{5(25^{51} - 1)}{24}
\]

**D**:

D được định nghĩa là:
\[
D = 1 + 5^2 + 5^4 + 5^6 + \ldots + 5^{2016}
\]

Ta có thể viết chuỗi này dưới dạng: \(5^{2k}\) với \(k = 0, 1, 2, \ldots, 1008\) (vì \(2 \cdot 1008 = 2016\)).

Vậy:
\[
D = \sum_{k=0}^{1008} 5^{2k} = \sum_{k=0}^{1008} (5^2)^k = \sum_{k=0}^{1008} 25^k
\]

Áp dụng công thức tổng của cấp số nhân:
\[
D = \frac{1 - 25^{1009}}{1 - 25} = \frac{1 - 25^{1009}}{-24} = \frac{25^{1009} - 1}{24}
\]

Để tóm tắt lại:
- \(B = \frac{2(4^{1005} - 1)}{3}\)
- \(C = \frac{5(25^{51} - 1)}{24}\)
- \(D = \frac{25^{1009} - 1}{24}\)