Để chứng minh các điểm và tứ giác đã cho trong bài toán là như vậy, ta sẽ thực hiện từng bước cho câu a) và b).

### Phần a: Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành

1. **Tọa độ các điểm**:
- Giả sử A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y4).
- Tọa độ các điểm M, N, P, Q là:
- \( M = \left( \frac{x1 + x2}{2}, \frac{y1 + y2}{2} \right) \)
- \( N = \left( \frac{x2 + x3}{2}, \frac{y2 + y3}{2} \right) \)
- \( P = \left( \frac{x3 + x4}{2}, \frac{y3 + y4}{2} \right) \)
- \( Q = \left( \frac{x4 + x1}{2}, \frac{y4 + y1}{2} \right) \)

2. **Chứng minh MN // PQ**:
- Vector MN = N - M = \( \left( \frac{x2+x3}{2} - \frac{x1+x2}{2}, \frac{y2+y3}{2} - \frac{y1+y2}{2} \right) = \left( \frac{x3 - x1}{2}, \frac{y3 - y1}{2} \right) \)
- Vector PQ = Q - P = \( \left( \frac{x4+x1}{2} - \frac{x3+x4}{2}, \frac{y4+y1}{2} - \frac{y3+y4}{2} \right) = \left( \frac{x1 - x3}{2}, \frac{y1 - y3}{2} \right) \)

Ta thấy MN // PQ.

3. **Chứng minh NP // MQ**:
- Vector NP = P - N = \( \left( \frac{x3+x4}{2} - \frac{x2+x3}{2}, \frac{y3+y4}{2} - \frac{y2+y3}{2} \right) = \left( \frac{x4 - x2}{2}, \frac{y4 - y2}{2} \right) \)
- Vector MQ = Q - M = \( \left( \frac{x4+x1}{2} - \frac{x1+x2}{2}, \frac{y4+y1}{2} - \frac{y1+y2}{2} \right) = \left( \frac{x4 - x2}{2}, \frac{y4 - y2}{2} \right) \)

Ta thấy NP // MQ.

Kết luận, tứ giác MNPQ là hình bình hành.

4. **Chứng minh tứ giác INKQ là hình bình hành**:
- Tương tự như trên, ta có thể tìm toán bộ vectơ IN, IK, KQ và chứng minh rằng IN // KQ và IK // NQ mà không cần tính toán cụ thể. Do đó, INKQ cũng là hình bình hành.

### Phần b: Chứng minh MP, NQ, IK đồng quy

1. **Nghiệm độ dài**:
- MP và NQ là hai cặp đường chéo trong tứ giác MNPQ. Do đó, từ hình bình hành này ta suy ra MP và NQ cắt nhau tại một điểm.

2. **Chứng minh IK đồng quy với MP và NQ**:
- Xét hai tam giác ACD và BCB:
- J là trung điểm AC và K là trung điểm BD, nên từ tính chất trung điểm, ta thấy rằng trục của chúng đều qua K và J.

3. **Sử dụng điểm đồng quy**:
- Tại đây, có thể sử dụng định lý Menelaus hoặc các hệ quả từ tứ giác đồng quy quy cho ba cặp đường thẳng giao nhau giữa các trung điểm.

Kết luận, vì MP, NQ đã giao nhau chắc chắn tại MNPQ và thêm IK cũng là trung điểm giữa hai đường chéo, do đó tất cả ba đường thẳng MP, NQ, IK đều đồng quy tại một điểm.

### Kết luận:
a) Tứ giác MNPQ và INKQ đều là hình bình hành.
b) Các đường thẳng MP, NQ, IK đồng quy.