Cho tam giác ABC có AB = AC. Trên AC lấy điểm D, AB lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh góc ADC= góc AEB

Để chứng minh góc \( ADC = \angle AEB \), chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác cân và một số góc đồng vị trong tam giác.

### a. Chứng minh góc \( ADC = \angle AEB \):

1. **Xét tam giác \( ABC \)**: Vì \( AB = AC \) nên tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \). Điều này suy ra rằng \( \angle ABC = \angle ACB \).

2. **Xét các đoạn thẳng**: Ta có \( AD = AE \).

3. **Xét góc tại điểm \( A \)**:
- Trong tam giác \( ADE \), do \( AD = AE \) nên \( \angle ADE = \angle AEA \).
- Trong tam giác \( ADB \), ta có \( AB = AC \) và \( AD = AE \) (cả hai tam giác này có một cạnh chung là \( AB \)), do đó, \( \angle ADB = \angle AEB \).

4. **Góc đồng vị**: Khi \( D \) và \( E \) di chuyển theo đường thẳng \( AC \) và \( AB \) tương ứng thì \( AD \) và \( AE \) luôn bằng nhau. Sự tương đồng này của góc sẽ dẫn đến \( \angle AEB = \angle ADC \) do tính chất của các góc.

Từ những lý luận trên, ta kết luận được rằng:
\[
\angle ADC = \angle AEB.
\]

### b. Chứng minh \( OD = OC \) (gọi \( O \) là giao điểm của \( BE \) và \( CD \)):

1. Từ kết quả ở phần a, ta thấy rằng \( \angle ADC = \angle AEB \).

2. **Xét tam giác \( ADB \) và \( AEB \)**: Từ điều kiện \( AD = AE \), hai tam giác này có cạnh tương ứng bằng nhau và góc kề cũng bằng nhau, do đó chúng đồng dạng.

3. **Xét điểm O**: Vì \( O \) là giao điểm của \( BE \) và \( CD \), cho nên từ tính đối xứng của tam giác và việc \( AD = AE \), ta có thể suy ra rằng đoạn thẳng \( OD \) và \( OC \) sẽ bằng nhau do tính chất của tam giác và cách xây dựng các điểm \( D \) và \( E \).

4. Cuối cùng, từ điều kiện \( AB = AC \) và \( AD = AE \), ta có:
\[
OD = OC.
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu trong đề bài.