Để tìm giá trị của \( m \) trong hàm số \( y = x + m + \sqrt{1 - x^2} \) sao cho giá trị lớn nhất của nó bằng \( 2\sqrt{2} \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định miền xác định của hàm số**:
Hàm \( \sqrt{1 - x^2} \) có nghĩa khi \( -1 \leq x \leq 1 \).

2. **Tính đạo hàm và tìm giá trị lớn nhất**:
Tính đạo hàm của \( y \):
\[
y' = 1 - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
\]
Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các giá trị cực trị:
\[
1 - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = 0 \implies \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = 1 \implies x = \sqrt{1 - x^2}
\]
Bằng cách bình phương hai bên, ta có:
\[
x^2 = 1 - x^2 \implies 2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}
\]

3. **Tính giá trị của hàm số tại các điểm đã tìm**:
Ta sẽ tính giá trị của hàm số tại \( x = \frac{1}{\sqrt{2}} \):
\[
y\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + m + \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}
\]
Tính \( \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \):
\[
y\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + m + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + m
\]

4. **Sử dụng điều kiện bài toán**:
Để giá trị lớn nhất bằng \( 2\sqrt{2} \), ta có:
\[
\sqrt{2} + m = 2\sqrt{2} \implies m = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}
\]

5. **Kết luận**:
Giá trị của \( m \) là \( \sqrt{2} \).