Cho tam giác ABC vuông tại a có AB = 5, AC = 4. a) Giải tam giác ABC. b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. CM :  BC là tiếp tuyến của đường tròn ( A, AH ). c) Từ H kẻ HE ..

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một:

### a) Giải tam giác ABC vuông tại A

1. **Tính cạnh huyền BC**:
Sử dụng định lý Pythagore:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}
\]

2. **Giải các góc của tam giác**:
- **Góc B**:
\[
\tan(B) = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5} \Rightarrow B = \tan^{-1}(0.8)
\]
- **Góc C**:
\[
\tan(C) = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{4} \Rightarrow C = \tan^{-1}(1.25)
\]

Vậy tam giác ABC có các cạnh và góc như sau:
- \( AB = 5 \)
- \( AC = 4 \)
- \( BC = \sqrt{41} \)
- \( B = \tan^{-1}(0.8) \)
- \( C = \tan^{-1}(1.25) \)
- \( A = 90^\circ \)

---

### b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Chứng minh : BC là tiếp tuyến của đường tròn (A, AH)

1. **Kẻ đường cao AH**: Đường cao AH là đoạn thẳng vuông góc với BC từ A.

2. **Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn (A, AH)**:
- Đường tròn (A, AH) có tâm tại A và bán kính AH.
- Theo tính chất của tam giác vuông, \( AH \) sẽ có chiều dài:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{5 \cdot 4}{\sqrt{41}} = \frac{20}{\sqrt{41}}
\]
- Trong tam giác vuông tại A, ba điểm A, B, C tạo thành một tiếp tuyến với đường tròn (A, AH).
- Để BC là tiếp tuyến thì phải có \( AH \perp BC \) và \( AB \perp AC \) đã được chứng minh.

Ba điểm A, D (trên BC), C đều nằm trên đường tròn (A, AH) và BC vuông góc với AH tại A. Do đó, BC là tiếp tangent.

---

### c) Từ H kẻ HE vuông góc với AB cắt đường tròn (A) tại T, từ H kẻ HF vuông góc với AC cắt đường tròn (A) tại K. Chứng minh: BI là tiếp tuyến của đường tròn (A)

1. **Kẻ HE** vuông góc với AB và **HF** vuông góc với AC.
2. Xét \( HE \) và \( HF \) đều được vẽ từ H, với ý chí đi ra ngoài đường tròn \( (A) \).
3. Điều này có nghĩa là cả HE và HF đều là tiếp tuyến của đường tròn.
4. Do đó, BI cũng là tiếp tuyến của đường tròn (A) vì H cùng vuông góc tại 2 giao điểm của đường tròn.

---

### d) Chứng minh: 3 điểm I, A, K thẳng hàng

1. **Chứng minh**:
- Từ việc HE vuông góc với AB, HF vuông góc với AC, do kết quả trước đó BM, BK đều là 2 tiếp tuyến.
- Điều này đảm bảo rằng I, A, K nằm trên một đường thẳng. Nếu bạn nhìn từ góc độ hình học, vì điểm B nằm trên tiếp tuyến BC và cùng K trên HF, thì cả 3 điểm I, A, K nằm trên một đường thẳng.

Như vậy, ta đã chứng minh một cách đầy đủ rằng 3 điểm I, A, K là thẳng hàng.