Để giải bài toán này, chúng ta cần áp dụng một số kiến thức về hình học, cụ thể là về tỉ lệ diện tích của các tam giác có cùng một cạnh và độ cao.

### a) Tính diện tích tam giác ABC

1. **Tính tỉ lệ diện tích**:
- Giả sử \( AD = x \), do \( CD = \frac{1}{2}AD \) nên \( CD = \frac{1}{2}x \).
- Do đó, \( AC = AD + CD = x + \frac{1}{2}x = \frac{3}{2}x \).

2. **Diện tích**:
- Diện tích tam giác BCD đã cho là \( S_{BCD} = 20 \, \text{cm}^2 \).
- Diện tích tam giác ABC có chung cạnh BC với tam giác BCD, và chiều cao từ A xuống cạnh BC sẽ bằng chiều cao từ D xuống cạnh BC.
- Tỉ lệ chiều dài cạnh AC giữa tam giác ABC và tam giác BCD là:
\[
\frac{AC}{CD} = \frac{\frac{3}{2}x}{\frac{1}{2}x} = 3
\]
- Do đó, tỉ lệ diện tích \( S_{ABC} \) so với \( S_{BCD} \) là:
\[
\frac{S_{ABC}}{S_{BCD}} = \frac{AC}{CD} = 3
\]
- Vậy:
\[
S_{ABC} = 3 \cdot S_{BCD} = 3 \cdot 20 = 60 \, \text{cm}^2
\]

### b) Tính diện tích từ giáp BEDC

1. **Diện tích của tứ giác BEDC**:
- Tứ giác BEDC có thể được chia thành tam giác BCD (diện tích đã biết là 20 cm²) và tam giác AED (có cùng chiều cao với tam giác ABC và tỉ lệ cạnh là 1/3 do D chia AC).
- Diện tích tam giác AED sẽ là:
\[
S_{AED} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot 60 = 20 \, \text{cm}^2
\]
- Diện tích tứ giác BEDC là:
\[
S_{BEDC} = S_{BCD} + S_{AED} = 20 + 20 = 40 \, \text{cm}^2
\]

### Kết quả:

a) Diện tích tam giác ABC là \( 60 \, \text{cm}^2 \).

b) Diện tích tứ giác BEDC là \( 40 \, \text{cm}^2 \).