Cho tam giác ABC vuông tại A có đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, trên tia đối của tia DM lấy điểm E sao cho DE = DM

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một.

### a. Tứ giác AEBM là bình gì? Vì sao?

Tứ giác AEBM được cấu tạo từ các đỉnh A, E, B, M. Ta cần xem xét các đoạn thẳng trong tứ giác này.

1. **AM là đường trung tuyến**: Khi A là đỉnh vuông trong tam giác ABC, và M là trung điểm của BC, thì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC.

2. **DE = DM**: Theo điều kiện đã cho, DE bằng DM. Điều này có ảnh hưởng đến quan hệ của các điểm trong tứ giác AEBM.

3. **Chứng minh tứ giác AEBM là hình bình hành**: Để tứ giác AEBM là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song.
- Đầu tiên, ở tam giác vuông ABC, đường trung tuyến AM sẽ chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.
- Nếu E và M là điểm nằm trên hai đoạn thẳng AE và AB sao cho DE = DM, thì đoạn thẳng AB sẽ được cắt đều tại M, và E sẽ nằm trên đường thẳng đi qua A và B, vì vậy AE sẽ song song với BM.

Từ các lập luận trên, ta có thể kết luận rằng tứ giác AEBM là hình bình hành.

### b. Chứng minh E, I, C thẳng hàng

Gọi I là trung điểm của AM. Ta cần chứng minh rằng E, I, C nằm trên một đường thẳng.

1. **I là trung điểm của AM**: Theo tính chất của trung điểm, điểm I chia AM thành hai đoạn bằng nhau. Tức là AI = IM.

2. **Xét tam giác AIB**: Trong tam giác này, I là trung điểm của AM, và M là trung điểm của BC.

3. **Cách tiếp cận để chứng minh thẳng hàng**:
- Bởi vì AM là đường trung tuyến và DE = DM, ta có thể suy ra tỉ lệ các đoạn nhỏ hơn từ I đến DE và từ I đến D, điều này dẫn đến việc E, I, C sẽ nằm trên cùng một đường thẳng (do tính chất đồng dạng trong tam giác).

### Kết luận

- Tứ giác AEBM là hình bình hành vì cặp cạnh AE và BM song song với nhau và bằng nhau.
- Điểm E, I, C thẳng hàng do tính chất của đường trung tuyến và các đoạn thẳng đồng dạng.

Hy vọng câu trả lời này giúp ích cho bạn!