Cho △ABC vuông tại A có AB = 8cm, AC = 12cm. Vẽ trung tuyến BM, trên tia đối của tia MB lấy điểm N sao cho MN = MB

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### a) Chứng minh: \(\triangle ABM = \triangle ACN\)

1. **Góc vuông**: Cả hai tam giác đều có góc A vuông.
2. **Độ dài cạnh**:
- \(AB = 8 \, cm\)
- \(AC = 12 \, cm\)
- \(BM = MC = \frac{BC}{2}\) (vì BM là trung tuyến).

Vì ta sẽ chứng minh \(\triangle ABM\) và \(\triangle ACN\) có hai cạnh và một góc vuông tương ứng bằng nhau. Khi đó, ta sẽ sử dụng định lý về tam giác vuông.

### b) Tính độ dài BM

Tam giác ABC vuông tại A, ta có:

\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{8^2 + 12^2} = \sqrt{64 + 144} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13} \, cm
\]

Vì BM là trung tuyến nên:

\[
BM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}
\]

Cụ thể:

\[
BM = \frac{1}{2} \sqrt{2(8^2 + 12^2) - (4\sqrt{13})^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2(64 + 144) - 208} = \frac{1}{2} \sqrt{416 - 208} = \frac{1}{2} \sqrt{208} = \frac{1}{2} (4\sqrt{13}) = 2\sqrt{13} \, cm
\]

### c) Chứng minh: \(BC > CN\)

Xét tam giác \(\triangle ABM\) và \(\triangle ACN\):

1. **Cạnh tương ứng** \(BM = CN\).
2. **Cạnh bên** \(AB\) và \(AC\) khác nhau nên:

\[
BC = AB + AC = 8 \, cm + 12 \, cm = 20 \, cm > CN
\]

Vì \(BC\) lớn hơn cạnh \(CN\) tương ứng trong tam giác.

Kết luận: Ta đã hoàn thành các yêu cầu của bài toán.