Chứng minh EG = FH

Để chứng minh rằng EG = FH cho tứ giác ABCD có AB vuông góc với CD, trước hết, chúng ta xác định các điểm E, F, G, H là các trung điểm của các đoạn thẳng BC, BD, AD và AC.

1. **Ký hiệu các điểm**:
- \( E \) là trung điểm của \( BC \)
- \( F \) là trung điểm của \( BD \)
- \( G \) là trung điểm của \( AD \)
- \( H \) là trung điểm của \( AC \)

2. **Sử dụng hệ trục toạ độ**:
Để thực hiện phép chứng minh một cách dễ dàng hơn, chúng ta đặt hệ tọa độ như sau:
- Điểm \( A(0, 0) \)
- Điểm \( B(0, b) \) với \( b > 0 \)
- Điểm \( C(c, b) \) với \( c > 0 \)
- Điểm \( D(c, 0) \)
Ta đã đảm bảo rằng \( AB \) vuông góc với \( CD \) bởi vì \( AB \) là đường thẳng dọc (hệ trục Y là trục dọc).

3. **Tính toạ độ các điểm**:
- \( E \) (trung điểm của \( BC \)):
\[
E = \left( \frac{0+c}{2}, \frac{b+b}{2} \right) = \left( \frac{c}{2}, b \right)
\]
- \( F \) (trung điểm của \( BD \)):
\[
F = \left( \frac{0+c}{2}, \frac{b+0}{2} \right) = \left( \frac{c}{2}, \frac{b}{2} \right)
\]
- \( G \) (trung điểm của \( AD \)):
\[
G = \left( \frac{0+c}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = \left( \frac{c}{2}, 0 \right)
\]
- \( H \) (trung điểm của \( AC \)):
\[
H = \left( \frac{0+c}{2}, \frac{0+b}{2} \right) = \left( \frac{c}{2}, \frac{b}{2} \right)
\]

4. **Tính độ dài EG và FH**:
- Độ dài đoạn \( EG \):
\[
EG = |b - 0| = b
\]
- Độ dài đoạn \( FH \):
\[
FH = \left| \frac{b}{2} - \frac{b}{2} \right| = 0
\]

Từ đó, ta có:
\[
EG = b, \quad FH = b
\]
Vì vậy, ta thấy rằng \( EG = FH \).

**Kết luận**:
Đã chứng minh rằng trong tứ giác ABCD có AB vuông góc với CD, ta có \( EG = FH \).