Để giải bài toán này, ta phân tích từng phần một:

**a)** Tứ giác \( ADFE \):

- Ta có \( A \) và \( D \) là hai đỉnh của hình chữ nhật, mà \( AB = 2AD \), nên chiều dài \( AB \) gấp đôi chiều dài \( AD \). Điều này có nghĩa là hình chữ nhật có dạng dài hơn.
- \( E \) là trung điểm của \( AB \) và \( F \) là trung điểm của \( CD \), vì vậy \( AE = EB \) và \( CF = FD \).
- Tứ giác \( ADFE \) sẽ có hai cạnh đối diện bằng nhau (cạnh \( AD \) và \( EF \)) và hai cạnh còn lại cũng bằng nhau (cạnh \( AE \) và \( DF \)).
- Hơn nữa, các góc tại các đỉnh \( A \), \( D \), \( E \) và \( F \) là góc vuông, do đó, tứ giác \( ADFE \) là hình chữ nhật.

**b)** Tứ giác \( EMNF \):

- \( M \) là giao điểm của \( AF \) và \( DE \), và \( N \) là giao điểm của \( BF \) và \( CE \).
- Do E và F là trung điểm, tứ giác \( EMNF \) sẽ có các cạnh được chia đều, với \( EM \) và \( NF \) là các đoạn thẳng nối giữa các trung điểm.
- Từ ký hiệu và tính chất, \( EM \) và \( NF \) sẽ song song và bằng nhau. Vì \( M \) và \( N \) được xác định từ các cạnh của hình chữ nhật, dẫn đến các góc tại \( E \) và \( F \) cũng là những góc vuông.

Do đó, tứ giác \( EMNF \) cũng là hình chữ nhật.

Kết luận:
- a) Tứ giác \( ADFE \) là hình chữ nhật.
- b) Tứ giác \( EMNF \) cũng là hình chữ nhật.