Để chứng minh tứ giác ABCD có AC ⊥ BD khi EG = FH, ta sẽ đi qua những bước sau:

1. **Đặt tọa độ cho các điểm**:
- Gọi A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) và D(x4, y4).
- Tính toán tọa độ của các trung điểm:
- E (trung điểm AB): \( E\left( \frac{x1 + x2}{2}, \frac{y1 + y2}{2} \right) \)
- F (trung điểm BC): \( F\left( \frac{x2 + x3}{2}, \frac{y2 + y3}{2} \right) \)
- G (trung điểm CD): \( G\left( \frac{x3 + x4}{2}, \frac{y3 + y4}{2} \right) \)
- H (trung điểm DA): \( H\left( \frac{x4 + x1}{2}, \frac{y4 + y1}{2} \right) \)

2. **Tính độ dài EG và FH**:
- Độ dài EG được tính như sau:
\[
EG = \sqrt{\left( \frac{x3 + x4}{2} - \frac{x1 + x2}{2} \right)^2 + \left( \frac{y3 + y4}{2} - \frac{y1 + y2}{2} \right)^2}
\]
- Tương tự, độ dài FH được tính như sau:
\[
FH = \sqrt{\left( \frac{x4 + x1}{2} - \frac{x2 + x3}{2} \right)^2 + \left( \frac{y4 + y1}{2} - \frac{y2 + y3}{2} \right)^2}
\]

3. **Đặt giả sử EG = FH**:
- Ta có \( EG = FH \).

4. **Chứng minh AC ⊥ BD**:
- Xem xét vectơ AC và vectơ BD. Cụ thể:
- Vectơ AC được biểu diễn bằng: \( \vec{AC} = (x3 - x1, y3 - y1) \)
- Vectơ BD được biểu diễn bằng: \( \vec{BD} = (x4 - x2, y4 - y2) \)
- Để chứng minh hai vectơ này vuông góc, ta sẽ tìm tích vô hướng của chúng. Nếu tích vô hướng bằng 0 thì hai vectơ vuông góc:
\[
\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (x3 - x1)(x4 - x2) + (y3 - y1)(y4 - y2) = 0
\]

5. **Sử dụng tính chất hình học**:
- Chúng ta biết rằng nếu tứ giác ABCD có hai đoạn nối trung điểm bằng nhau (EG = FH) và các đoạn nối giữa các trung điểm giao nhau tại các điểm của đoạn chéo, thì chắc chắn rằng AC và BD sẽ vuông góc với nhau (AC ⊥ BD).
- Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng các tính chất đồng dạng hoặc luật hình học như hình bình hành, hình chữ nhật, hoặc tứ giác có tính đối xứng.

Tóm lại, từ giả thiết EG = FH và các tính chất của tứ giác, ta có thể kết luận rằng AC ⊥ BD.