Để chứng minh tứ giác \( AKDH \) là hình chữ nhật, ta sẽ sử dụng một số tính chất và định lý trong hình học.

1. **Tính chất của tam giác cân**: Trong tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), các cạnh \( AB \) và \( AC \) bằng nhau, tức là \( AB = AC \). Hơn nữa, đường trung tuyến từ \( A \) đến \( BC \) tức là đoạn thẳng \( AH \) (với \( H \) là trung điểm của \( BC \)) sẽ cũng là đường cao và đường phân giác.

2. **Vẽ đường thẳng vuông góc**: Giả sử điểm trên \( BC \) là \( P \). Từ \( P \), ta vẽ đường thẳng vuông góc với \( BC \) và cắt \( AC \) tại \( M \) và tại \( AB \) tại \( N \). Do \( PM \perp AC \) và \( PN \perp AB \), thì các góc \( PMA \) và \( PNA \) đều bằng \( 90^\circ \).

3. **Xác định trung điểm**: Gọi \( H \) là trung điểm của \( BC \), và \( K \) là trung điểm của \( MN \).

4. **Chứng minh rằng tứ giác \( AKDH \) là hình chữ nhật**: Để chứng minh \( AKDH \) là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng \( \angle AKD = \angle ADH = 90^\circ \) và \( AH = KD \).

- **Khi \( PM \perp AC \) và \( PN \perp AB \)**: Do \( P \) nằm trên đường thẳng vuông góc với \( BC \), nên \( PM \) và \( PN \) vuông góc với các đoạn \( AC \) và \( AB \). Từ đó, ta có \( KM \) và \( KN \) cũng vuông góc với \( AC \) và \( AB \) tại điểm tương ứng.

- **Trung điểm**: Bằng tính chất của trung điểm, ta có \( K \) là trung điểm của \( MN \), do đó \( AK \) vuông góc với \( MN \).

- **Tam giác vuông**: Khi \( H \) là trung điểm của \( BC \) và do \( ABC \) là tam giác cân, ta có \( AH \perp BC \).

- **Tính chất rìu**: Xét các góc:

- \( \angle AKD = 90^\circ \) (do \( AK \) vuông góc với \( KM \) và \( KN \)).
- \( \angle ADH = 90^\circ \) (do \( AH \) vuông góc với \( BC \)).

5. **Tính chất cạnh đối**: Cuối cùng, cùng với việc \( KH = AH \) (do tính chất trung điểm) và từ đó \( AK \parallel HD \), ta xác định được \( AK = HD \).

Từ những lập luận trên, ta có thể kết luận rằng tứ giác \( AKDH \) có 4 góc vuông và các cạnh đối song song và bằng nhau, do đó, \( AKDH \) là hình chữ nhật.