Xác định m để phương trình sau có nghiệm duy nhất :

Để xác định giá trị \( m \) cho phương trình \( \sqrt{x-5} + \sqrt{9-x} = m \) có nghiệm duy nhất, ta cần phân tích miền xác định và tính toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức bên trái.

1. **Xác định miền xác định:**
- Để \( \sqrt{x-5} \) có nghĩa, ta cần \( x - 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq 5 \).
- Để \( \sqrt{9-x} \) có nghĩa, ta cần \( 9 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 9 \).
- Vậy miền xác định của \( x \) là \( 5 \leq x \leq 9 \).

2. **Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \( y = \sqrt{x-5} + \sqrt{9-x} \):**
- Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \( y \), ta sẽ xem xét các điểm biên và tìm đạo hàm để xét cực trị.
- Tại biên:
- Khi \( x = 5 \):
\[
y(5) = \sqrt{5-5} + \sqrt{9-5} = 0 + 2 = 2
\]
- Khi \( x = 9 \):
\[
y(9) = \sqrt{9-5} + \sqrt{9-9} = 2 + 0 = 2
\]

3. **Giá trị tại điểm giữa:**
- Để kiểm tra giá trị tại điểm giữa \( x = 7 \):
\[
y(7) = \sqrt{7-5} + \sqrt{9-7} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.828
\]

4. **Xét giá trị \( y \):**
- Giá trị nhỏ nhất của \( y \) trên đoạn \( [5, 9] \) là \( 2 \) (tại \( x = 5 \) và \( x = 9 \)).
- Giá trị lớn nhất của \( y \) là \( 2\sqrt{2} \).

5. **Kết luận:**
- Biểu thức \( y \) có giá trị tối thiểu bằng \( 2 \) và tối đa bằng \( 2\sqrt{2} \).
- Để phương trình \( \sqrt{x-5} + \sqrt{9-x} = m \) có nghiệm duy nhất, \( m \) cần nằm trong khoảng \( [2, 2\sqrt{2}] \) và cần phải bằng \( 2 \) để có nghiệm duy nhất tại các biên.

Vậy, giá trị \( m \) cần thiết để phương trình có nghiệm duy nhất là:
\[
m = 2.
\]