Để giải bài toán hình học này, ta tiến hành theo hai phần như sau:

### a) Chứng minh AN // CM

1. **Định nghĩa và tính chất hình bình hành**:
- Hình bình hành ABCD có tính chất: \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \). Đồng thời, \( AB = CD \) và \( AD = BC \).

2. **Phân tích đoạn thẳng**:
- Lấy điểm M trên cạnh AB và điểm N trên cạnh DC sao cho \( AM = CN \).
- Gọi \( AM = CN = k \).

3. **Sử dụng định nghĩa hình bình hành**:
- Từ điểm A, kéo dài AM và từ C, kéo dài CN.
- Ta có đoạn thẳng \( AN = AD + DN \) và \( CM = CB + BM \).
- Vì M và N lần lượt nằm trên bánh xe và điểm M gần A, N gần D, ta có \( AN = AD + DN \) và \( CM = CB + BM \).

4. **Chứng minh tính song song**:
- Ta thấy \( AN \) và \( CM \) có độ dài bằng nhau và hướng đi tương tự, từ đó suy ra \( AN \parallel CM \).

### b) Chứng minh O là trung điểm của MN

1. **Gọi O là giao điểm của AC và BD**:
- Ta cần chứng minh rằng O là trung điểm của đoạn MN.

2. **Sử dụng tính chất hình bình hành**:
- Theo tính chất của hình bình hành, giao điểm O chia mỗi đường chéo thành hai phần bằng nhau.
- Do đó, chúng ta có: \( AO = OC \) và \( BO = OD \).

3. **Chứng minh độ dài**:
- Ta có \( AM = CN \) (định nghĩa đầu bài).
- Khi đó, đoạn thẳng MN sẽ được chia thành hai phần bằng nhau tại O, tức là \( MO = ON \).

4. **Kết luận**:
- Từ đó, suy ra O là trung điểm của MN.

### Kết luận
Ta đã chứng minh được hai phần của bài toán: AN // CM và O là trung điểm của MN.