Cho hình bình hành ABCD,kẻ AE và CF vuông góc với BD.O là giao điểm của đường chéo BD và AC

Để chứng minh O là trung điểm của EF và tính diện tích của tứ giác ABCD, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

### a. Chứng minh O là trung điểm của EF

1. **Xác định O và các điểm**: O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong hình bình hành. Theo tính chất của hình bình hành, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo.

2. **Chú ý đến các đoạn thẳng**: Vì AE vuông góc với BD và CF cũng vuông góc với BD, do đó EF sẽ nằm trên một đường thẳng vuông góc với BD.

3. **Giải thích tính đối xứng**: Trong hình bình hành, hai đường chéo BD và AC chia hình bình hành thành 4 tam giác đồng dạng và đối xứng qua O. Do đó, với tam giác AOE và COF:
- Tam giác AOE và tam giác COF sẽ có diện tích bằng nhau.
- Từ đó, AO = CO và OE = OF.

4. **Kết luận**: Vì O chia EF thành hai đoạn AE và CF với diện tích giống nhau, nên suy ra O là trung điểm của EF.

### b. Tính diện tích của tứ giác ABCD

1. **Diện tích hình bình hành**: Diện tích \(S\) của hình bình hành có thể tính bằng công thức:
\[
S = \text{cạnh} \times \text{chiều cao}
\]
Hoặc thông qua độ dài các đường chéo:
\[
S = \frac{1}{2} d_1 \times d_2
\]
Trong đó \(d_1\) và \(d_2\) là độ dài hai đường chéo.

2. **Liên hệ giữa các đại lượng**: Ở đây, chúng ta có AE = 12 cm (chiều cao) và BD = 18 cm. Để tính diện tích, ta cần tính thêm chiều dài AC.

**Sử dụng tính chất của hình bình hành** để tìm chiều dài của AC:
\[
AC = BD \quad (\text{vì trong hình bình hành, các đường chéo chỉ có thể bằng nhau})
\]
Nhưng vì \(EF\) là chiều cao hạ từ \(AC\) xuống \(BD\).

3. **Tính diện tích**:
\[
S = b \cdot h = BD \cdot AE = 18 \, \text{cm} \cdot 12 \, \text{cm}.
\]
\[
S = 216 \, \text{cm}^2.
\]

### Kết luận
- a. O là trung điểm của EF.
- b. Diện tích của tứ giác ABCD là \(216 \, \text{cm}^2\).