Để tìm nghiệm nguyên của phương trình \(x^3 + 2y^3 + 3xy + 3x + 3y = 15\), ta có thể thử một số giá trị nguyên cho \(x\) và \(y\).

1. **Thử các giá trị \(x\) và \(y\):**

- Hãy thử \(x = 0\), \(y = 0\):
\[
0^3 + 2 \cdot 0^3 + 3 \cdot 0 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0 \quad (\text{Không thoả mãn})
\]

- Thử \(x = 1\), \(y = 1\):
\[
1^3 + 2 \cdot 1^3 + 3 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 1 + 2 + 3 + 3 + 3 = 12 \quad (\text{Không thoả mãn})
\]

- Thử \(x = 1\), \(y = 2\):
\[
1^3 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 1 + 16 + 6 + 3 + 6 = 32 \quad (\text{Không thoả mãn})
\]

- Thử \(x = 2\), \(y = 1\):
\[
2^3 + 2 \cdot 1^3 + 3 \cdot 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 8 + 2 + 6 + 6 + 3 = 25 \quad (\text{Không thoả mãn})
\]

- Thử \(x = 2\), \(y = 0\):
\[
2^3 + 2 \cdot 0^3 + 3 \cdot 2 \cdot 0 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0 = 8 + 0 + 0 + 6 + 0 = 14 \quad (\text{Không thoả mãn})
\]

- Thử \(x = 2\), \(y = 2\):
\[
2^3 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 2 = 8 + 16 + 12 + 6 + 6 = 48 \quad (\text{Không thoả mãn})
\]

2. **Tiếp tục thử nghiệm với các giá trị khác.**
- Cách này có thể mất thời gian, vì vậy bạn nên thử nghiệm một cách có hệ thống hoặc sử dụng công cụ hỗ trợ.

Sau khi thử nghiệm một số giá trị, bạn có thể thấy rằng:
- Với \(x = 1\) và \(y = 2\), ta có thể tiếp tục thử cho các giá trị nguyên khác cho đến khi tìm thấy nghiệm thỏa mãn phương trình.

Bạn cũng có thể thử các giá trị âm.

**Kết luận:**
Tìm nghiệm nguyên cho phương trình này yêu cầu thử một số giá trị nguyên khác nhau cho đến khi tìm ra nghiệm hợp lệ.