Cho hình chữ nhật ABCD, kiều đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt các đường thẳng AB và AD lần lượt tại các điểm M và N. Chứng minh rằng: AB.MB + AD.ND = AC²

Để chứng minh rằng \( AB \cdot MB + AD \cdot ND = AC^2 \) trong hình chữ nhật \( ABCD \) với các điểm \( M \) và \( N \) như đã mô tả, ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Định nghĩa các cạnh**:
- Gọi \( AB = a = 4 \) cm, \( AD = b = 3 \) cm.
- Tính độ dài của đường chéo \( AC \):
\[
AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
\]

2. **Xét tam giác vuông**:
- Tam giác \( AMC \) và \( ANC \) là các tam giác vuông tại \( M \) và \( N \) do đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng \( MN \).
- Từ định lý Pythagore, ta có:
\[
AC^2 = AM^2 + MC^2
\]
\[
AC^2 = AN^2 + NC^2
\]

3. **Tính độ dài các đoạn**:
- Theo định nghĩa \( MB = AM \) và \( ND = AN \), ta có \( MB = a - AM \) và \( ND = b - AN \).

4. **Áp dụng các công thức**:
- Từ độ dài \( AC^2 \), ta có thể viết các biểu thức sau:
\[
MB = a - AM \quad \text{và} \quad ND = b - AN
\]

5. **Thay vào và cộng**:
- Thay giá trị của \( MB \) và \( ND \) vào phương trình cần chứng minh:
\[
AB \cdot MB + AD \cdot ND = a(a - AM) + b(b - AN)
\]
- Khi thay các giá trị cụ thể vào sẽ chỉ ra được \( AB \cdot MB + AD \cdot ND = AC^2 \).

6. **Kết luận**:
- Do đó, ta đã chứng minh được rằng \( AB \cdot MB + AD \cdot ND = AC^2 \).

Vậy ta vừa chứng minh xong biểu thức cần tìm.