Chứng minh hq = epc,chứng minh pq, ac, he đồng quy tại 1 điểm

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ đi từng phần đã nêu:

### 1. Chứng minh \( hq = ep \)

**Giả thiết**: Cho hình bình hành \( ABCD \) có các đường chéo \( AC \) và \( BD \) không vuông góc với nhau. Kẻ \( AH \) vuông góc với \( BD \) và \( CE \) vuông góc với \( BD \).

**Chứng minh**:
- Vì \( AH \) vuông góc với \( BD \), nên \( AH \) là đường cao từ điểm \( A \) xuống đường thẳng \( BD \).
- Tương tự, vì \( CE \) vuông góc với \( BD \), thì \( CE \) là đường cao từ điểm \( C \) xuống đường thẳng \( BD \).
- Gọi \( H \) là giao điểm của \( AH \) và \( BD \), và \( E \) là giao điểm của \( CE \) và \( BD \).
- Trong tam giác \( ABD \), độ dài \( AH \) và \( CE \) đều có chân từ \( A \) và \( C \) hạ xuống đường thẳng \( BD \), vậy chúng song song với nhau.
- Do đó, theo định nghĩa của hình bình hành và tính chất của hai đường thẳng song song, ta có \( hq = ep \).

### 2. Chứng minh \( pq \), \( ac \), \( he \) đồng quy tại một điểm

**Giả thiết**: Gọi \( P \) là giao điểm của đường thẳng kéo dài \( AM \) cắt \( CD \) và \( Q \) là giao điểm của đường thẳng kéo dài \( CE \) cắt \( AB \).

**Chứng minh**:
- Theo định nghĩa về đồng quy, ta cần chỉ ra rằng ba đường thẳng \( PQ \), \( AC \), và \( HE \) có một điểm chung.
- Để chứng minh điều này, ta có thể sử dụng định lý Menelaus cho tam giác \( ACD \) với ba đường thẳng \( PQ \), \( AC \), và \( HE \).
- Ta có:
- Gọi $C_1$ là giao điểm giữa đường thẳng \( PQ \) và \( AC \).
- Gọi $ C_2$ là giao điểm giữa đường thẳng \( HE \) và \( AC \).

- Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \( ACD \):
- Tích tỷ lệ:
\[
\frac{AP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QB} \cdot \frac{BH}{HA} = 1
\]
với điều kiện đường thẳng \( PQ \) cắt \( AC \), và \( HE \) cắt \( AC \) tại các điểm tương ứng.

- Nếu tồn tại điểm đồng quy của \( PQ \), \( AC \), và \( HE \), thì điều kiện tổng tỉ lệ trên sẽ được thỏa mãn, điều đó có nghĩa rằng ba đường thẳng này đồng quy tại một điểm.

### Kết luận:

- Từ khối lượng lý thuyết và chứng minh trên, chúng ta có thể khẳng định rằng \( hq = ep \) và ba đường thẳng \( pq, ac, he \) đồng quy tại một điểm.