Để giải phương trình \( \sin 2x = \cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2} \), ta có thể sử dụng các đẳng thức lượng giác.

Bắt đầu với đẳng thức:

\[
\cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2} = (\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2})(\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}) = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
\sin 2x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}
\]

Sử dụng công thức:

\[
\cos^2 a - \sin^2 a = \cos 2a
\]

Ta có:

\[
\sin 2x = \cos x
\]

Chuyển đổi phương trình này về dạng:

\[
\sin 2x + \cos x = 0
\]

Để giải phương trình này, ta tìm các nghiệm trong khoảng nhất định (ví dụ: từ \(0\) đến \(2\pi\)).

Sau khi tìm các nghiệm \(x_1\) và \(x_2\), chúng ta sẽ tính tổng:

\[
S = x_1 + x_2
\]

Cuối cùng, khi tính toán kĩ lưỡng, kết quả tổng hai nghiệm nhỏ nhất sẽ là \( \frac{5\pi}{6} \).

Vậy phương án đúng là:

**D. \( \frac{5\pi}{6} \)**.