Để biểu thức \( A \) xác định và rút gọn, ta cần tìm các điều kiện cho \( x \).

**1. Tìm điều kiện để \( A \) xác định:**

**a. Xác định điều kiện của căn bậc hai:**
- Trong các căn bậc hai \(\sqrt{x}\) và \(\sqrt{1-x}\), ta có:
- \( x \geq 0 \) (để \(\sqrt{x}\) xác định)
- \( 1 - x \geq 0 \) tức là \( x \leq 1 \) (để \(\sqrt{1-x}\) xác định)

**b. Tìm điều kiện cho mẫu không bằng 0:**
- Mẫu số \( 1 - \sqrt{x} \), \( 1 + \sqrt{x} \), \( 1 - x \) cũng phải khác 0:
- \( 1 - \sqrt{x} \neq 0 \) \(\Rightarrow \sqrt{x} \neq 1 \Rightarrow x \neq 1\)
- \( 1 + \sqrt{x} \neq 0 \) (không có điều kiện)
- \( 1 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\)

Tóm tắt các điều kiện trên:
- \( 0 \leq x < 1 \)

**2. Rút gọn \( A \):**

Biểu thức \( A \) là:

\[
A = \frac{1 + \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}} + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} + \frac{4x}{1 - x}
\]

Chúng ta sẽ tính từng phần:

**a. Tính \(\frac{1 + \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}} + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}\):**

Áp dụng công thức cộng phân số:
\[
\frac{1 + \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}} + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} = \frac{(1 + \sqrt{x})^2 + (1 - \sqrt{x})^2}{(1 - \sqrt{x})(1 + \sqrt{x})}
\]

Tính tử số:
\[
(1 + \sqrt{x})^2 + (1 - \sqrt{x})^2 = 1 + 2\sqrt{x} + x + 1 - 2\sqrt{x} + x = 2 + 2x
\]

Tính mẫu số:
\[
(1 - \sqrt{x})(1 + \sqrt{x}) = 1 - x
\]

Vậy:
\[
\frac{(2 + 2x)}{(1 - x)}
\]

**b. Kết hợp với phần \(\frac{4x}{1 - x}\) và rút gọn:**
\[
A = \frac{2 + 2x + 4x}{1 - x} = \frac{2 + 6x}{1 - x}
\]

Như vậy, biểu thức \( A \) được rút gọn thành:
\[
A = \frac{2 + 6x}{1 - x}
\]

**Kết luận:**
- Điều kiện xác định cho \( A \): \( 0 \leq x < 1 \)
- Biểu thức rút gọn của \( A \): \( A = \frac{2 + 6x}{1 - x} \)