Để giải bài toán, ta bắt đầu từ phương trình đã cho:

\[
x^2 + 2xy - 3y^2 = 0
\]

Từ phương trình này, ta có thể viết lại dưới dạng:

\[
x^2 + 2xy = 3y^2
\]

Giờ đây ta thay \( x^2 + 2xy \) vào biểu thức \( N \):

\[
N = \frac{x^2 + 2xy}{3xy + 4y^2}
\]

Thay vào, ta có:

\[
N = \frac{3y^2}{3xy + 4y^2}
\]

Bây giờ, nhìn vào mẫu số:

\[
N = \frac{3y^2}{3xy + 4y^2}
\]

Ta có thể rút gọn biểu thức:

\[
N = \frac{3y^2}{y(3x + 4y)} = \frac{3y}{3x + 4y}
\]

Vậy giá trị của biểu thức \( N \) là:

\[
N = \frac{3y}{3x + 4y}
\]

Để tính giá trị của \( N \), chúng ta cần thông tin thêm về mối quan hệ giữa \( x \) và \( y \). Tuy nhiên, từ phương trình ban đầu, nếu ta tìm được giá trị cụ thể cho \( x \) và \( y \) sẽ giúp tính ra được giá trị cụ thể của \( N \).

Từ phương trình \( x^2 + 2xy - 3y^2 = 0 \), ta có thể giải phương trình bậc 2 theo biến \( x \):

\[
x = \frac{-2y \pm \sqrt{(2y)^2 + 4 \cdot 3y^2}}{2} = \frac{-2y \pm \sqrt{4y^2 + 12y^2}}{2} = \frac{-2y \pm \sqrt{16y^2}}{2} = \frac{-2y \pm 4y}{2}
\]

Từ đó ta có 2 nghiệm:

1. \( x = y \)
2. \( x = -3y \)

Ta sẽ tính \( N \) cho từng trường hợp:

1. **Khi \( x = y \)**:
\[
N = \frac{3y}{3y + 4y} = \frac{3y}{7y} = \frac{3}{7}
\]

2. **Khi \( x = -3y \)**:
\[
N = \frac{3y}{3(-3y) + 4y} = \frac{3y}{-9y + 4y} = \frac{3y}{-5y} = -\frac{3}{5}
\]

Kết luận, giá trị của \( N \) có thể là:

\[
N = \frac{3}{7} \quad \text{hoặc} \quad N = -\frac{3}{5}
\]