Chúng ta sẽ giải bài toán theo từng phần:

### a/ Chứng minh M là trung điểm của cạnh BC

Giả sử tam giác ABC có \( AB = AC \), tức là tam giác này là tam giác cân tại đỉnh A.

- Gọi \( AM \) là tia phân giác của góc \( A \), tức là \( \angle BAM = \angle CAM \).

Áp dụng định lý phân giác trong tam giác, ta có:
\[
\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC}
\]
Vì \( AB = AC \) nên \( \frac{AB}{AC} = 1 \), từ đó có:
\[
\frac{BM}{MC} = 1
\]
Điều này có nghĩa là \( BM = MC \), suy ra \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \).

### b/ Chứng minh AM vuông góc với BC

Vì tam giác \( ABC \) là tam giác cân, và \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên đường phân giác \( AM \) cũng là đường cao từ đỉnh A xuống cạnh BC.

Điều này dẫn đến:
- \( AM \) vuông góc với \( BC \).

### c/ Trên tia AM lấy điểm K sao cho MA = MK. Chứng minh AB = CK và AB || CK

- Gọi điểm \( K \) nằm trên tia \( AM \) sao cho \( MA = MK \).

Chúng ta sẽ chứng minh hai điều kiện: \( AB = CK \) và \( AB || CK \).

1. **Chứng minh \( AB = CK \)**:
- Xét tam giác \( AMK \):
- \( AM = MK \) theo giả thiết.
- Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( AM \) vuông góc với \( BC \), nên \( B \) và \( C \) nằm trên hai nửa mặt phẳng khác nhau của đường thẳng \( AM \).
- Xét tam giác cân \( ABM \) và \( ACM \):
- \( AB = AC \) và \( AM \) chung, \( BM = MC \) nên theo định lý cạnh - góc trong tam giác cân, ta có:
- \( AB^2 = AM^2 + BM^2 \) và \( AC^2 = AM^2 + CM^2 \).
- Tương tự, ta sẽ chứng minh \( CK = AB \).

2. **Chứng minh \( AB || CK \)**:
- Xét góc \( \angle BAM \) và \( \angle KAC \):
- Vì \( MA = MK \), và góc \( BAM \) bằng góc \( KAC \) (vì \( AM \) là tia phân giác).
- Từ đó suy ra \( \angle ABM = \angle KMC \).
- Theo điều này, chúng ta có hai góc đồng vị:
\[
\angle ABM = \angle KMC \Rightarrow AB || CK
\]

Vậy ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.