Để giải phương trình

\[
\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{1}{x - 1},
\]

chúng ta bắt đầu bằng cách khử mẫu. Chúng ta thực hiện nhân chéo để đơn giản hóa phương trình:

\[
(x - 1)(x - 1) = (x + 1)(1).
\]

Mở rộng các biểu thức:

\[
(x - 1)^2 = x + 1.
\]

Tiến hành tính bình phương bên trái:

\[
x^2 - 2x + 1 = x + 1.
\]

Di chuyển tất cả các hạng tử về phía bên trái:

\[
x^2 - 2x + 1 - x - 1 = 0,
\]
có thể viết lại thành:

\[
x^2 - 3x = 0.
\]

Factoring phương trình này:

\[
x(x - 3) = 0.
\]

Giải phương trình này ta có hai nghiệm:

1. \(x = 0\)
2. \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\)

Tiếp theo, chúng ta cần kiểm tra các nghiệm này có thỏa mãn điều kiện của phương trình gốc hay không. Cụ thể là \(x + 1 \neq 0\) và \(x - 1 \neq 0\).

- Với \(x = 0\): \(x + 1 = 1 \neq 0\) và \(x - 1 = -1 \neq 0\) -> Thỏa mãn.

- Với \(x = 3\): \(x + 1 = 4 \neq 0\) và \(x - 1 = 2 \neq 0\) -> Thỏa mãn.

Vậy, nghiệm của phương trình là:

\[
x = 0 \quad \text{và} \quad x = 3.
\]