Giả sử MxM;yM là điểm cố định mà đường thẳng d1 luôn đi qua. Ta có:

yM=−mxM+m+1 với mọi m ⇔m1−xM+1−yM=0 với mọi m

⇔1−xM=01−yM=0⇔xM=1yM=1

Vậy đường thẳng d1 luôn đi qua điểm M1;1 cố định.

Giả sử Nx0;y0 là giao điểm của d1 và d2. Khi đó:

y0=−mx0+m+1y0=1mx0−1−5m⇔y0−1=m1−x0    (1)y0+1=1mx0−5    (2)

Nhân theo vế của (1) và (2) ta được:

y0+1y0−1=1−x0x0−5⇔y02−1=−x02+6x0−5⇔x0−32+y02=5

Giả sử I(3;0) thuộc mặt phẳng tọa độ. Ta có IN=x0−32+y02=5 không đổi.

Vậy N thuộc đường tròn tâm I bán kính 5.