1.

a) Ta có  AMB^= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O).

Suy ra AMD^= 90° (kề bù với AMB^)

Có DC ^ AB Þ  ACD^=KCB^=90°

Xét tứ giác ACMD có: ACD^=AMD^= 90° (chứng minh trên).

Suy ra C, M cùng thuộc đường tròn đường kính AD (quỹ tích cung chứa góc)

Do đó tứ giác ACMB nội tiếp đường tròn đường kính AD.

b) Ta có tứ giác ACMB nội tiếp đường tròn đường kính AD

Suy ra  CAM^=CDM^ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CM) hay  CAK^=CDB^

Xét ∆ACK và ∆DCB có:

ACK^=DCB^=90°CAK^=CDB^(cmt)Þ ∆ACK ∽∆DCB (g.g)

Þ  CACB=CKCBÞ CA.CB = CD.CK

c) Ta có  AMD^= 90° Þ AM ^ BD mà K là giao điểm của hai đường cao DC và AM.

Suy ra K là trực tâm của ∆ABD

Do đó BK ^ AD

Ta lại có  ANB^= 90° (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Þ BN ^ AD.

Þ BK ≡ BN hay N, K, B thẳng hàng.

Þ KN ^ AD

Ta có tứ giác ACMD nội tiếp đường tròn

Þ  AMC^=ADC^(cùng chắn cung AC) (1)

Tứ giác KMDN có  KMD^+KND^=90°+90°=180° (tổng hai góc đối)

Suy ra tứ giác KMDN nội tiếp đường tròn đường kính DK

Do đó  KMN^=KDN^ (cùng chắn cung KN) (2)

Từ (1) và (2) suy ra  KMC^=KMN^ Þ MK là tia phân giác của  NMC^.

d) Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua DC Þ  DBC^=DB'C^(tính chất đối xứng)

Ta có  CKM^=AKD^ (hai góc đối đỉnh)

Ta có tứ giác BCKM nội tiếp ( BCK^=BMK^=90°)

Þ  DBC^+MKC^=180° Þ  DB'A^+DKA^=180°

Þ Tứ giác AKDB’ nội tiếp đường tròn.

Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AKD thì O’ cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AKDB’

Nên O’ thuộc đường trung trực d của đoạn thẳng AB’.

Mà A, B, C cố định nên B’ cố định suy ra đường thẳng d cố định.

Vậy tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp ∆AKD luôn nằm trên đường thẳng d là trung trực của đoạn thẳng AB’ cố định.

2. Diện tích xung quanh của hình nón là: S_xq = prl (với r là độ dài bán kính, l là độ dài đường sinh).

Có đườg kính d = 40 cm nên bán kính r = 20 cm

Có l = 30 cm

S_xq = 3,14 . 20 . 30 = 1884 (cm²).

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là 1884 cm².