Kẻ hai đường cao AD, CF tới đường thẳng BN.

Ta có: M là điểm chính giữa cạnh AB\( \Rightarrow \frac = \frac{1}{2}\)

CN = 2AN\( \Rightarrow \frac = \frac{1}{3}\)

 S_AOM = S_BOM (Do có cùng chiều cao hạ từ O xuống AB và đáy MA = MB)

Mà S_ACM = S_BCM (Do có cùng chiều cao hạ từ C xuống AB và đáy MA = MB)

Nên suy ra S_AOC = S_BOC

Lại có: \({S_{AON}} = \frac{1}{2}{S_{CON}}\) (Do có cùng chiều cao hạ từ O xuống AC và đáy CN = 2AN)

Do đó nếu coi A, C là đỉnh thì 2 tam giác trên có diện tích gấp đôi nhưng chung đáy ON nên chiều cao phải gấp đôi nhau

Suy ra \(AD = \frac{1}{2}CF\)

Do đó \({S_{AOB}} = \frac{1}{2}{S_{COB}}\) (do có chung đáy OB mà hai đường cao\(AD = \frac{1}{2}CF\))

Vậy \({S_{ABC}} = {S_{AOB}} + {S_{OBC}} + {S_{AOC}} = \frac{1}{2}{S_{OBC}} + {S_{OBC}} + {S_{OBC}} = \frac{5}{2}\,.\,20 = 50\;\left( {c{m^2}} \right)\)