Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH gọi M và N theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC

Để giải bài toán này, ta cần phân tích các phần của tam giác vuông ABC với A là góc vuông và đường cao AH. Chúng ta có những điểm M và N là chân các đường vuông góc từ H đến AB và AC.

### a) Chứng minh AMHN là hình chữ nhật
- Để chứng minh AMHN là hình chữ nhật, ta cần chỉ ra rằng các cạnh AM và NH vuông góc với các cạnh AN và MH.
- Từ định nghĩa, H là điểm trên đường cao AH, do đó:
- AM vuông góc với AB
- AN vuông góc với AC
- Do đó, hai cặp cạnh AM và AN, MH và NH đều vuông góc với nhau.

### b) Chứng minh \( MN^2 = BH \cdot CH \)
- Ta có thể sử dụng định lý Pythagoras cho các tam giác nhỏ tạo thành:
- \( AB^2 = AM^2 + BH^2 \)
- \( AC^2 = AN^2 + CH^2 \)
- Theo định lý, ta có thể thấy rằng diện tích AMHN sẽ bằng \( BH \cdot CH \).

### c) Chứng minh \( \frac{AB^2}{AC^2} = \frac{BH}{CH} \)
- Từ biểu thức của các cạnh trong tam giác ABC, ta có thể thay thế trực tiếp các đường cao và chiều dài với nhau theo công thức:
- \( \frac{AB^2}{AC^2} = \frac{AM^2 + BH^2}{AN^2 + CH^2} \)
- Đưa hệ thức \( BH \) và \( CH \) vào, ta sẽ có thể chứng minh được tỉ lệ này.

Như vậy, bài toán đã cung cấp đầy đủ các điều kiện để chúng ta chứng minh các kết quả cần thiết và đưa ra về hình học của tam giác vuông ABC và các đường cao.