Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC, D là điểm thuộc đoạn thẳng BM (D khác B và M). Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vuông góc với đường thẳng AD tại H và I

Để giải quyết bài toán về tam giác ABC vuông cân tại A, với M là trung điểm của BC và D thuộc đoạn thẳng BM (D khác B và M), chúng ta thực hiện từng phần của bài toán như sau:

### a. Chứng minh rằng \( BH = AI \)

1. **Hình vẽ**: Vẽ tam giác vuông cân \( ABC \) với \( A \) là đỉnh vuông, \( B \) và \( C \) nằm trên cùng một đường thẳng, với \( M \) là trung điểm của \( BC \). Gọi \( D \) là điểm nằm giữa \( B \) và \( M \). Vẽ đường thẳng \( AD \).

2. **Kẻ đường thẳng vuông góc**: Kẻ các đường thẳng \( BH \) và \( CI \) vuông góc với đường thẳng \( AD \).

3. **Tính chất của tam giác vuông**:
- trong tam giác vuông cân \( ABC \), ta có \( AB = AC \).
- Do \( M \) là trung điểm của \( BC \), thì \( BM = MC \).

4. **Chú ý về các góc**:
- Vì BH và CI đều vuông góc với AD, góc \( BHA \) và \( CIA \) đều bằng \( 90^\circ \).
- Theo định lý về chiều dài đoạn thẳng vuông góc, cạnh đối diện của hai tam giác vuông tạo ra bởi \( AD \) và các đường thẳng BH và CI sẽ bằng nhau.

5. **Áp dụng định lý Pythagoras**: Trong hai tam giác \( ABH \) và \( ACI \), do \( A \) là đỉnh vuông nên
\[
BH^2 + AH^2 = AB^2
\]
và
\[
AI^2 + CI^2 = AC^2.
\]
Với \( AB = AC \) và \( CI = BH \), ta có:
\[
BH = AI.
\]
Vậy \( BH = AI \).

### b. Tính góc \( AIM \)

1. **Tính toán**:
- \( \angle AIM \) là góc giữa đường thẳng \( AD \) và trung đối chiều.
- Vì \( A \) là đỉnh vuông của tam giác vuông cân, góc \( A \) bằng \( 90^\circ \).
- Do đó, \( M \) là trung điểm \( BC \), nên góc \( AIM = 45^\circ \) vì nó sẽ là một góc trong tam giác vuông cân.

### Kết luận:

a. Chúng ta đã chứng minh được \( BH = AI \).

b. Góc \( AIM = 45^\circ \).