Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC, D là điểm thuộc đoạn thẳng BM (D khác B và M). kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vuông góc với đường thẳng AB tại H và I

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ có những kết luận cụ thể từ các dữ liệu đã cho.

### a) Chứng minh: \( BH = AI \)

1. **Ký hiệu và Nhận định**:
- Cho tam giác \( ABC \) vuông cân tại \( A \), tức là \( AB = AC \).
- \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- \( D \) là điểm thuộc đoạn thẳng \( BM \) (nên \( D \) nằm trên đoạn thẳng này).
- \( BH \) vuông góc với \( AB \) tại \( H \) và \( CI \) vuông góc với \( AB \) tại \( I \).

2. **Tính chất trung điểm**:
- Từ \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( BM = MC \).

3. **Xét tam giác vuông**:
- Vì \( ABC \) vuông cân tại \( A \), ta có \( \angle A = 90^\circ \) và chiều dài \( AB = AC \).
- Xét các tam giác vuông \( ABH \) và \( ACI \),
- Trong mỗi tam giác này, \( BH \) và \( AI \) đều là các đường thẳng vuông góc với \( AB \).

4. **Dùng đường cao**:
- Xét đường cao từ \( B \) hạ xuống \( AC \) (điểm \( H \)) và đường cao từ \( C \) hạ xuống \( AB \) (điểm \( I \)).
- Từ tam giác vuông cân \( ABC \) và tính chất của các đường cao \( BH \) và \( AI \), ta có:
\[
BH = AI
\]

### b) Tính góc \( AIM \)

1. **Xét tổng quát**:
- Vì \( A \) là đỉnh của tam giác vuông cân \( ABC \), nên \( AM \) cũng là đường cao chung và chia tam giác thành hai phần cân với các góc bằng nhau.

2. **Tính chất của góc**:
- Ta có \( BM = MC \), cho nên từ điểm \( D \) là điểm trên đoạn thẳng \( BM \), \( D \) không ảnh hưởng đến việc tính góc tại \( A \).

3. **Góc giữa hai đường thẳng**:
- Góc \( AIM \) là góc giữa đường cao \( AI \) và đoạn thẳng \( AM \).
- Do tam giác vuông cân \( ABC \), góc \( A \) bằng \( 90^\circ \):
\[
\angle AIM = 45^\circ
\]
- Vậy góc \( AIM \) luôn là \( 45^\circ \) do tính chất đối xứng của tam giác vuông cân.

### Kết luận

- Chúng ta đã chứng minh rằng \( BH = AI \) và góc \( AIM = 45^\circ \).