Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC. Lấy điểm N sao cho M là trung điểm của NE. Kẻ EK vuông góc với BC. a) CMR: tứ giác AENB là hình chữ nhật. b) CMR: 4 điểm A, K, N, B thuộc 1 ..

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học cơ bản trong tam giác vuông và các điểm đặc biệt.

**a) Chứng minh rằng tứ giác AENB là hình chữ nhật.**

1. **Xác định các điểm:**
- Điểm \( A \) là đỉnh của tam giác vuông tại \( A \).
- Điểm \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- Điểm \( D \) là hình chiếu của \( M \) lên \( AB \).
- Điểm \( E \) là hình chiếu của \( M \) lên \( AC \).
- Điểm \( N \) sao cho \( M \) là trung điểm của \( NE \).

2. **Tính chất hình chiếu:**
- Theo định nghĩa, hình chiếu vuông góc sẽ tạo ra các góc vuông ở các điểm \( D \) và \( E \).
- Vậy \( \angle DMA = 90^\circ \) và \( \angle EMA = 90^\circ \).

3. **Điểm N:**
- Do \( M \) là trung điểm của \( NE \), suy ra \( NM = ME \).
- Đặc biệt, vì \( DK \) vuông góc với \( BC \) và \( EK \) vuông góc với \( BC \), tức là \( DK \parallel AE \).

4. **Chứng minh các góc:**
- Ta có \( \angle ANE = \angle AME = 90^\circ \) (vì \( E \) nằm trên \( AC \)).
- Tương tự như vậy, \( \angle ABM = \angle AEN = 90^\circ \).
- Nên \( AE \parallel BN \) và \( AN \parallel BE \).

5. **Kết luận:**
- Tứ giác \( AENB \) có hai cặp cạnh song song và có tất cả bốn góc vuông, do đó \( AENB \) là hình chữ nhật.

**b) Chứng minh rằng 4 điểm A, K, N, B thuộc 1 đường tròn.**

1. **Đường tròn ngoại tiếp:**
- Ta có \( AK \) vuông góc với \( B \) (do \( EK \) vuông góc với \( BC \)).
- Xét tam giác \( AKN \): nó có \( \angle AKB = 90^\circ \).

2. **Tính chất của đường tròn:**
- Theo tính chất của đường tròn: nếu một điểm nằm trên một đường tròn thì mọi góc phụ cung trong đường tròn đó sẽ bằng nhau.
- Vì \( \angle ANB + \angle AKB = 180^\circ \) (do \( M \) là trung điểm và điểm \( M \) nằm trên đường nối giữa \( E \) và \( N \)).

3. **Kết luận:**
- Vậy bốn điểm \( A, K, N, B \) thuộc cùng một đường tròn (đường tròn có đường kính là \( AB \)).

Từ hai phần chứng minh trên, ta đã hoàn thành yêu cầu của bài toán.