Để giải bài toán, trước tiên ta có thể biểu diễn \( x \), \( y \), và \( z \) thông qua một tham số chung. Từ điều kiện \( 2x = 3y = 5z \), ta đặt:

\[
2x = 3y = 5z = k
\]

Do đó, ta có thể viết:

\[
x = \frac{k}{2}, \quad y = \frac{k}{3}, \quad z = \frac{k}{5}
\]

Bây giờ, ta sẽ thay thế vào điều kiện thứ hai:

\[
|x - 2y| = 5
\]

Thay các biểu thức vào, ta có:

\[
\left| \frac{k}{2} - 2 \cdot \frac{k}{3} \right| = 5
\]

Tính biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối:

\[
\frac{k}{2} - \frac{2k}{3} = \frac{3k}{6} - \frac{4k}{6} = -\frac{k}{6}
\]

Vậy ta có:

\[
\left| -\frac{k}{6} \right| = \frac{k}{6}
\]

Đặt điều kiện:

\[
\frac{k}{6} = 5 \quad \text{hoặc} \quad -\frac{k}{6} = 5
\]

Từ đó, ta có:

1. \( \frac{k}{6} = 5 \) \(\Rightarrow k = 30\)
2. \( -\frac{k}{6} = 5 \) \(\Rightarrow k = -30\)

Vậy:

- Nếu \( k = 30 \):
- \( x = \frac{30}{2} = 15 \)
- \( y = \frac{30}{3} = 10 \)
- \( z = \frac{30}{5} = 6 \)

- Nếu \( k = -30 \):
- \( x = \frac{-30}{2} = -15 \)
- \( y = \frac{-30}{3} = -10 \)
- \( z = \frac{-30}{5} = -6 \)

Tiếp theo, ta tính giá trị của \( 3x - 2z \):

1. Với \( k = 30 \):

\[
3x - 2z = 3(15) - 2(6) = 45 - 12 = 33
\]

2. Với \( k = -30 \):

\[
3x - 2z = 3(-15) - 2(-6) = -45 + 12 = -33
\]

Cuối cùng, giá trị lớn nhất của \( 3x - 2z \) là:

\[
\boxed{33}
\]