1. Để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx - ny = 1\\2nx - 5y = m\end{array} \right.\) có nghiệm là \(\left( { - 1;\,\,1} \right)\) thì \(x =  - 1\) và \(y = 1\) thỏa mãn hệ phương trình này, khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}m \cdot \left( { - 1} \right) - n \cdot 1 = 1\\2n \cdot \left( { - 1} \right) - 5 \cdot 1 = m\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l} - m - n = 1\\m + 2n =  - 5\end{array} \right.\).

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được: \(n =  - 4\).

Thay \(n =  - 4\) vào phương trình \( - m - n = 1\) ta được:

\( - m - \left( { - 4} \right) = 1\) nên \(m =  - 3.\)

Vậy \(m =  - 3\) và \(n =  - 4\).

2. Gọi \(x,\,\,y\) (sản phẩm) lần lượt là số sản phẩm của tổ I và tổ II theo kế hoạch cần sản xuất \(\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right)\).

Theo bài, theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm nên ta có phương trình: \(x + y = 600\) (1)

Khi tổ I vượt kế hoạch 18% thì số sản phẩm tổ I sản xuất được là: \(x + 18\% x = 1,18x\) (sản phẩm).

Khi tổ II vượt kế hoạch 21% thì số sản phẩm tổ II sản xuất được là: \(y + 21\% y = 1,21y\) (sản phẩm).

Theo bài, cả hai tổ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm nên ta có phương trình:

\(1,18x + 1,21y = 600 + 120\) hay \(118x + 121y = 72\,\,000\)   (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 600\\118x + 121y = 72\,\,000\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với 118, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}118x + 118y = 70\,\,800\\118x + 121y = 72\,\,000\end{array} \right.\)

Trừ hai vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\( - 3y =  - 1\,\,200\), suy ra \(y = 400\) (thỏa mãn).

Thay \(y = 400\) vào phương trình \(x + y = 600\), ta được:

\(x + 400 = 600\), suy ra \(x = 200\) (thỏa mãn).

Vậy theo kế hoạch, tổ I và tổ II cần sản xuất lần lượt là 200 sản phẩm và 400 sản phẩm.