Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một:

### a) Rút gọn biểu thức \( P \)

Biểu thức được cho là:

\[
P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-2}} + \frac{2}{\sqrt{x+2}} + \frac{\sqrt{x+20}}{x-4}
\]

Để rút gọn, ta nhìn vào các thành phần của biểu thức. Ta có thể kết hợp các phần với nhau hoặc tìm một quy luật nào đó để đơn giản hóa.

### b) Tính giá trị của \( P \) tại \( x = 9 - 4\sqrt{5} \)

- Thay \( x = 9 - 4\sqrt{5} \) vào biểu thức \( P \) đã rút gọn và tính giá trị.

### c) Tìm \( x \) để \( P = -3 \)

- Giải phương trình:

\[
P = -3
\]

Có thể làm bằng cách thay giá trị \( P \) vào và giải phương trình.

### d) Tìm \( x \) để \( P < -2 \)

- Giải bất phương trình:

\[
P < -2
\]

### e) Tìm \( x \in \mathbb{Z} \) để \( P \in \mathbb{Z} \)

- Tìm các giá trị nguyên cho \( x \) mà \( P \) cũng là số nguyên.

Mỗi bước cần chi tiết hơn. Nếu bạn cần cụ thể hơn cho từng phần ở trên, hãy cho tôi biết!