Để giải bất phương trình \( \frac{2x(3x - 5)}{x^2 + 1} < 0 \), ta sẽ phân tích từng phần và đi tìm điều kiện để bất phương trình này nhỏ hơn 0.

1. **Phân tích tử số và mẫu số**:
- Tử số: \( 2x(3x - 5) \)
- Mẫu số: \( x^2 + 1 \)

Mẫu số \( x^2 + 1 \) luôn dương với mọi giá trị của \( x \) vì \( x^2 \geq 0 \), nên \( x^2 + 1 \geq 1 > 0 \).

Vậy vấn đề chỉ còn lại là xác định khi nào tử số \( 2x(3x - 5) < 0 \).

2. **Giải tử số**:
- Ta có \( 2x(3x - 5) < 0 \).
- Để giải bất phương trình này, ta xét dấu của từng thừa số:
- \( 2x < 0 \) khi \( x < 0 \).
- \( 3x - 5 < 0 \) khi \( x < \frac{5}{3} \).

3. **Xét các khoảng**:
- Tử số sẽ đổi dấu tại các điểm \( x = 0 \) và \( x = \frac{5}{3} \).
- Ta chia trục số thành các khoảng: \( (-\infty, 0) \), \( (0, \frac{5}{3}) \), và \( (\frac{5}{3}, +\infty) \).

4. **Xét dấu của tử số trên từng khoảng**:
- Với \( x \in (-\infty, 0) \): \( 2x < 0 \) và \( 3x - 5 < 0 \) ⇒ \( 2x(3x - 5) > 0 \).
- Với \( x \in (0, \frac{5}{3}) \): \( 2x > 0 \) và \( 3x - 5 < 0 \) ⇒ \( 2x(3x - 5) < 0 \).
- Với \( x \in (\frac{5}{3}, +\infty) \): \( 2x > 0 \) và \( 3x - 5 > 0 \) ⇒ \( 2x(3x - 5) > 0 \).

5. **Kết luận**:
Bất phương trình \( \frac{2x(3x - 5)}{x^2 + 1} < 0 \) chỉ thỏa mãn trong khoảng \( (0, \frac{5}{3}) \).

Vậy nghiệm của bất phương trình là:
\[
\boxed{(0, \frac{5}{3})}
\]