Chúng ta sẽ phân tích từng câu hỏi trong bài toán:

### a) Tứ giác AEMF là hình gì? Vì sao?
Tứ giác AEMF được tạo thành từ hai đường thẳng AE và MF, trong đó AE // AC và MF // AB. Do AE và MF là hai đường thẳng song song, và các đoạn AM và MF là cắt nhau tại điểm M, theo định lý hình thang, tứ giác AEMF là hình thang.

Ngoài ra, vì M là trung điểm của AB và AC (do AM là trung tuyến), nên AEMF còn có tính đối xứng qua M. Điều này cho ta biết thêm rằng AEMF là hình bình hành.

### b) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEMF là hình chữ nhật?
Tứ giác AEMF sẽ là hình chữ nhật khi và chỉ khi hai đường chéo AM và EF vuông góc với nhau. Do đó, điều kiện cần thiết là góc AME và góc AMF phải bằng 90 độ.

Cụ thể, điều này xảy ra khi tam giác ABC là tam giác vuông, tức là có điều kiện:
- Góc A = 90 độ (tamaij giác ABC vuông tại A)
- Hoặc góc B = 90 độ
- Hoặc góc C = 90 độ

### c) Nếu tam giác ABC vuông cân ở A thì tứ giác AEMF là hình gì? Vì sao?
Nếu tam giác ABC vuông cân tại A, tức là AB = AC và góc A = 90 độ, thì các cạnh AE và MF sẽ có độ dài bằng nhau (do tính đối xứng của tam giác vuông cân) và có góc AME = AMF = 45 độ.

Vì AE // AC và MF // AB, và góc AME + góc AMF = 90 độ, nó khẳng định rằng tứ giác AEMF sẽ là hình chữ nhật vì nó có 4 góc vuông (điều này xảy ra khi hai cặp cạnh song song vuông góc với nhau).

Tóm lại:
- Nếu tam giác ABC vuông cân ở A, tứ giác AEMF là hình chữ nhật vì các tĩnh chất của tứ giác AEMF dựa trên tính đối xứng và sự vuông góc của các cạnh liên quan.

Hy vọng rằng những giải thích trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán!