Cho phương trình lượng giác. Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng [−π/2;0). Khi đó giá trị của biểu thức T = -3a + 5b

Để giải bài toán này, chúng ta bắt đầu từ phương trình lượng giác:

\[
\cot(3x) = -\frac{1}{\sqrt{3}}
\]

Điều này có nghĩa là:

\[
3x = \frac{5\pi}{6} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Thông qua đó, ta có các nghiệm cho \(x\):

\[
x = \frac{5\pi}{18} + \frac{k\pi}{3}
\]

Bây giờ, ta tìm các giá trị của \(k\) sao cho \(x\) nằm trong khoảng \([- \frac{\pi}{2}; 0)\):

1. Với \(k = -1\):

\[
x = \frac{5\pi}{18} - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{18} - \frac{6\pi}{18} = -\frac{\pi}{18}
\]

2. Với \(k = 0\):

\[
x = \frac{5\pi}{18} \text{ (không nằm trong khoảng)}
\]

3. Với \(k = -2\):

\[
x = \frac{5\pi}{18} - \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{18} - \frac{12\pi}{18} = -\frac{7\pi}{18} \text{ (nằm trong khoảng)}
\]

Vậy, các nghiệm trong khoảng \([- \frac{\pi}{2}; 0)\) là:

\(-\frac{\pi}{18}\) và \(-\frac{7\pi}{18}\).

Tính tổng các nghiệm này:

\[
-\frac{\pi}{18} - \frac{7\pi}{18} = -\frac{8\pi}{18} = -\frac{4\pi}{9}
\]

Theo bài toán, tổng các nghiệm được biểu diễn dưới dạng:

\[
-\frac{a\pi}{b} \text{ với } (a,b) \text{ nguyên và } \text{UCLN}(a,b) = 1
\]

Ta có:

\[
-\frac{4\pi}{9} = -\frac{4}{9}\pi \Rightarrow a = 4, b = 9
\]

Cuối cùng, tính giá trị của biểu thức \(T\):

\[
T = -3a + 5b = -3 \times 4 + 5 \times 9 = -12 + 45 = 33
\]

Vậy giá trị của \(T\) là:

\[
\boxed{33}
\]